Puissances d'une matrice : conjecturer puis démontrer

Énoncé

Soit A = pmatrix 1 & 2 0 & 1 pmatrix. a) Calculer A^2 et A^3. b) Conjecturer une expression de A^{\,n} pour tout entier n 1. c) Démontrer cette conjecture par récurrence.

Indice : Calcule les premières puissances et observe ce qui change — et ce qui ne change pas. La récurrence se fait en écrivant A^{n+1} = A^{\,n} A.

Correction

  1. Étape 1 : On ne calcule jamais A^{100} en faisant cent produits. La méthode est toujours la même : calculer, observer, conjecturer, démontrer. La démonstration par récurrence est indispensable — une conjecture vérifiée sur trois cas n'est pas un théorème.
  2. Étape 2 : a) On calcule A^2 = A A :

    A^2 = pmatrix 1 & 2 0 & 1 pmatrixpmatrix 1 & 2 0 & 1 pmatrix = pmatrix 1 & 4 0 & 1 pmatrix

  3. Étape 3 : Puis A^3 = A^2 A :

    A^3 = pmatrix 1 & 4 0 & 1 pmatrixpmatrix 1 & 2 0 & 1 pmatrix = pmatrix 1 & 6 0 & 1 pmatrix

  4. Étape 4 : b) On observe. Trois coefficients ne bougent jamais, et le quatrième suit la suite 2, 4, 6 — c'est 2n :

    A^{\,n} = pmatrix 1 & 2n 0 & 1 pmatrix

  5. Étape 5 : c) Initialisation. Pour n = 1, la formule donne pmatrix 1 & 2 0 & 1 pmatrix, qui est bien A. La propriété est vraie au rang 1.
  6. Étape 6 : Hérédité. On suppose la formule vraie à un rang n quelconque, et l'on calcule A^{n+1} :

    A^{\,n+1} = A^{\,n} A = pmatrix 1 & 2n 0 & 1 pmatrixpmatrix 1 & 2 0 & 1 pmatrix

  7. Étape 7 : On effectue le produit, coefficient par coefficient :

    = pmatrix 1 1 + 2n 0 & 1 2 + 2n 1 0 + 0 & 0 + 1 pmatrix = pmatrix 1 & 2n+2 0 & 1 pmatrix

  8. Étape 8 : Or 2n + 2 = 2(n+1) : c'est exactement la formule au rang n+1. L'hérédité est établie, et la conjecture est démontrée pour tout n 1.

    A^{\,n} = pmatrix 1 & 2n 0 & 1 pmatrix pour tout n 1

  9. Étape 9 : Contrôle sur un cas non utilisé : la formule prédit A^{10} = pmatrix 1 & 20 0 & 1 pmatrix, ce qui se vérifie en élevant A^5 = pmatrix 1 & 10 0 & 1 pmatrix au carré. Conjecturer n'est pas démontrer : Trois cas ne prouvent rien : il existe des suites qui coïncident sur dix termes puis divergent. Seule la récurrence couvre TOUS les rangs — et c'est pour cela que la question c) existe séparément de la question b). Où placer le facteur A dans l'hérédité : A^{n+1} = A^{\,n} A ou A A^{\,n} : les deux marchent, car une matrice commute toujours avec ses propres puissances. En revanche, dès qu'interviennent DEUX matrices différentes, l'ordre compte — c'est tout l'objet de l'exercice 38015.