Produit d'une matrice par une matrice colonne

Énoncé

Soient A = pmatrix 2 & 1 1 & 2 pmatrix et U = pmatrix 3 4 pmatrix. Calculer AU.

Indice : Chaque ligne de A se combine avec la colonne U : on multiplie terme à terme, puis on additionne.

Correction

1. Étape 1 : Multiplier une matrice par une colonne est le calcul le plus utile du chapitre : c'est lui qui fait avancer une suite de matrices colonnes, à partir de l'exercice 38010. Matrice fois colonne : La ligne i du résultat s'obtient en combinant la ligne i de A avec la colonne U : on multiplie terme à terme, puis on additionne. Le résultat est une colonne, de même hauteur que U.
2. Étape 2 : Première ligne de A contre la colonne U :

   2 3 + 1 4 = 6 + 4 = 10

3. Étape 3 : Deuxième ligne :

   1 3 + 2 4 = 3 + 8 = 11

4. Étape 4 : D'où le résultat, qui est bien une colonne :

   AU = pmatrix 2 & 1 1 & 2 pmatrixpmatrix 3 4 pmatrix = pmatrix 10 11 pmatrix

5. Étape 5 : Contrôle par les sommes. Ici les deux lignes de A ont la même somme (3), donc la somme des composantes du résultat vaut 3 (3+4) = 21. Or 10 + 11 = 21 ✓. Ce contrôle marche chaque fois que les lignes de A somment au même nombre. Ligne contre colonne, jamais ligne contre ligne : Écrire 2 3 + 1 4 pour la PREMIÈRE ligne est correct ; prendre la première COLONNE de A donnerait 2 3 + 1 4 aussi — par coïncidence, A étant symétrique ici. Avec A = pmatrix 2 & 1 0 & 3 pmatrix les deux lectures divergeraient. Toujours parcourir la ligne de gauche à droite en descendant la colonne. Le format dit tout : Une matrice 2 2 multipliée par une colonne 2 1 donne une colonne 2 1. Si les formats ne s'emboîtent pas — nombre de colonnes de A différent du nombre de lignes de U — le produit n'existe tout simplement pas.