Calculer le produit de deux matrices d'ordre 2

Énoncé

Soient A = pmatrix 1 & 2 3 & 4 pmatrix et B = pmatrix 2 & 1 1 & 0 pmatrix. Calculer AB.

Indice : Pour calculer (AB)_{i,j}, prends la ligne i de A et la colonne j de B, puis fais la somme des produits terme à terme.

Correction

1. Étape 1 : ⚠️ La multiplication matricielle ne se fait PAS case par case — c'est la différence fondamentale avec l'addition, et la source de presque toutes les erreurs. Produit de matrices : Le coefficient (AB)_{i,j} s'obtient en combinant la ligne i de A avec la colonne j de B : [formule] 👉 Le geste concret : pour la case en position (i,j), on parcourt la ligne i de A de gauche à droite et la colonne j de B de haut en bas, en multipliant les termes deux à deux et en additionnant. ⚠️ Conséquence majeure : AB BA en général. La multiplication matricielle n'est pas commutative, contrairement à celle des nombres. C'est le fait le plus important du chapitre.
2. Étape 2 : A = pmatrix 1 & 2 3 & 4 pmatrix et B = pmatrix 2 & 1 1 & 0 pmatrix. Case (1,1) — ligne 1 de A « fois » colonne 1 de B : 1 2 + 2 1 = 2 + 2 = 4 Case (1,2) — ligne 1 de A, colonne 2 de B : 1 1 + 2 0 = 1 + 0 = 1

   (AB)_{1,1} = 4 \ ; (AB)_{1,2} = 1

3. Étape 3 : Case (2,1) — ligne 2 de A, colonne 1 de B : 3 2 + 4 1 = 6 + 4 = 10 Case (2,2) — ligne 2 de A, colonne 2 de B : 3 1 + 4 0 = 3 + 0 = 3 [formule]

   AB = pmatrix 4 & 1 10 & 3 pmatrix

4. Étape 4 : 👉 La non-commutativité, mesurée sur cet exemple. Calculons BA : (BA)_{1,1} = 2 1 + 1 3 = 5 · (BA)_{1,2} = 2 2 + 1 4 = 8 (BA)_{2,1} = 1 1 + 0 3 = 1 · (BA)_{2,2} = 1 2 + 0 4 = 2 [formule] Les deux produits n'ont aucun coefficient en commun. Ce n'est pas une petite différence : ce sont deux matrices entièrement distinctes. ℹ️ Contrôle par le déterminant, qui doit être identique dans les deux cas (puisque (AB) = (A)(B) = (B)(A) = (BA)) : (AB) = 12 - 10 = 2 et (BA) = 10 - 8 = 2 ✓

   AB BA

5. Étape 5 : L'erreur classique : Multiplier case par case, comme pour l'addition. On obtiendrait pmatrix 2 & 2 3 & 0 pmatrix — une matrice qui n'a aucun rapport avec le produit réel. C'est l'erreur numéro un du chapitre, et elle vient directement de l'analogie avec l'addition. 👉 Le repère : chaque case du produit demande une ligne entière et une colonne entière, donc autant de multiplications que la matrice a de colonnes. À retenir : Ligne colonne, jamais case par case. 👉 Et AB BA : la multiplication matricielle n'est pas commutative. C'est le fait à ne jamais oublier.