Calculer le déterminant d'une matrice d'ordre 2

Énoncé

Calculer le déterminant de la matrice A = pmatrix 3 & 2 1 & 4 pmatrix.

Indice : Pour une matrice pmatrix a & b c & d pmatrix, le déterminant est ad - bc.

Correction

1. Étape 1 : Le déterminant d'une matrice 22 est un nombre qui résume à lui seul deux informations essentielles. Déterminant d'ordre 2 : [formule] 👉 Moyen mnémotechnique : produit de la diagonale descendante moins produit de la diagonale montante. Le schéma en croix. 👉 Et à quoi sert-il ? À deux choses, et c'est ce qui en fait l'outil central du chapitre : (A) 0 la matrice est inversible, donc le système associé a une solution unique ; |(A)| est l'aire du parallélogramme construit sur les deux colonnes de la matrice. ⚠️ Et l'ordre compte : c'est ad moins bc, jamais l'inverse.
2. Étape 2 : Pour A = pmatrix 3 & 2 1 & 4 pmatrix : diagonale descendante : 3 4 = 12 diagonale montante : 2 1 = 2 [formule] 👉 Conséquence immédiate : (A) = 10 0, donc A est inversible. On saura calculer son inverse à l'exercice 38008. ℹ️ Et géométriquement : les colonnes (3\,;1) et (2\,;4) engendrent un parallélogramme d'aire 10.

   (A) = 10

3. Étape 3 : L'erreur classique : Calculer bc - ad, ou additionner au lieu de soustraire. Le premier donne l'opposé (-10 au lieu de 10), ce qui ne change pas la conclusion sur l'inversibilité mais fausse tout calcul d'inverse. Le second donne 14, sans aucun sens. 👉 Le contrôle sur un cas connu : la matrice identité pmatrix 1 & 0 0 & 1 pmatrix doit avoir un déterminant de 1. La formule donne 11 - 00 = 1 ✓ — si votre formule ne redonne pas 1 ici, elle est fausse. À retenir : = ad - bc : descendante moins montante. 👉 Et sa vraie utilité : non nul inversible. C'est ce test qui précède tout calcul d'inverse.