Multiplier une matrice par un scalaire

Énoncé

Soit A = pmatrix 1 & -2 3 & 0 pmatrix. Calculer 3A.

Indice : Multiplie chaque coefficient de la matrice par le scalaire 3.

Correction

1. Étape 1 : Multiplier une matrice par un nombre (qu'on appelle un « scalaire » pour le distinguer d'une matrice) se fait aussi case par case. Produit par un scalaire : [formule] 👉 Chaque coefficient est multiplié, aucun n'est oublié — y compris les zéros, qui restent zéros. ⚠️ Ne pas confondre avec le déterminant : multiplier une matrice 22 par 3 multiplie son déterminant par 9, pas par 3. Chaque terme du déterminant étant un produit de deux coefficients, il reçoit le facteur deux fois. On y reviendra.
2. Étape 2 : On multiplie chacun des quatre coefficients par 3 : [formule] 👉 Noter que 3 0 = 0 : le zéro reste, il ne disparaît pas de la matrice. Une matrice garde toujours sa taille, quelles que soient les valeurs de ses cases.

   3A = pmatrix 3 & -6 9 & 0 pmatrix

3. Étape 3 : 👉 La vérification par le déterminant, qui illustre le piège annoncé : (A) = 1 0 - (-2) 3 = 0 + 6 = 6 (3A) = 3 0 - (-6) 9 = 0 + 54 = 54 Et 54 = 9 6 = 3^2 (A) ✓ [formule] Pourquoi ^n et non : le déterminant est une somme de produits contenant un coefficient de chaque ligne. Multiplier toute la matrice par multiplie donc chaque produit par ^n.

   (3A) = 3^2 (A) = 54

4. Étape 4 : L'erreur classique : Ne multiplier que la première ligne, ou oublier les zéros. Tous les coefficients sont concernés. Le contrôle : la matrice résultat a exactement le même nombre de cases que celle de départ, et aucune n'est vide. 👉 Et second piège, plus subtil : croire que ( A) = (A). C'est ^n, et l'écart est important dès n = 2. À retenir : Produit par un scalaire : chaque coefficient, sans exception. 👉 Et ( A) = ^n (A) — un facteur par ligne, donc une puissance.