Calculer la somme de deux matrices

Énoncé

Soient A = pmatrix 2 & -1 3 & 4 pmatrix et B = pmatrix 1 & 5 -2 & 1 pmatrix. Calculer A + B.

Indice : Additionne les coefficients correspondants terme à terme.

Correction

1. Étape 1 : L'addition de matrices est la plus simple des opérations matricielles : elle se fait case par case. Somme de deux matrices : [formule] 👉 La seule condition : les deux matrices doivent avoir exactement la même taille. On ne peut pas additionner une matrice 22 et une 23 — il n'y aurait pas de correspondance entre les cases. ⚠️ Et c'est ce qui rend l'addition très différente de la multiplication, qui elle mélange lignes et colonnes et obéit à des règles bien plus contraignantes.
2. Étape 2 : Les deux matrices sont 22 : l'addition est possible. On additionne case par case : [formule] ⚠️ Attention aux signes : -1+5 = 4 et 3+(-2) = 1. C'est là que se glissent les erreurs. [formule]

   A+B = pmatrix 3 & 4 1 & 5 pmatrix

3. Étape 3 : 👉 Deux propriétés qui découlent de la définition : l'addition est commutative : A+B = B+A, puisqu'on additionne des nombres case par case ; elle est associative : (A+B)+C = A+(B+C). ℹ️ Ce sont exactement les propriétés de l'addition des nombres — ce qui n'a rien d'étonnant, puisque l'addition matricielle n'est qu'une collection d'additions de nombres menées en parallèle. ⚠️ Retenir ce contraste : la multiplication matricielle, elle, n'est PAS commutative. C'est la grande différence avec le calcul numérique, et elle sera au cœur de plusieurs exercices de ce chapitre.

   A+B = B+A (commutative)

4. Étape 4 : L'erreur classique : Vouloir additionner des matrices de tailles différentes. L'opération n'est pas définie : il n'y a aucune convention, et la réponse est « impossible », pas un résultat approché. Vérifier les tailles est donc le premier geste, avant tout calcul. À retenir : Addition case par case, et seulement entre matrices de même taille. 👉 Elle est commutative et associative, comme celle des nombres — contrairement à la multiplication, qui ne l'est pas.