Critère de divisibilité par 11

Énoncé

a) Montrer que 10 -1 11, puis que 10^{\,k} (-1)^k 11 pour tout entier k 0. b) En déduire un critère de divisibilité par 11. c) Le nombre 81\,753 est-il divisible par 11 ? d) Déterminer le chiffre a pour que le nombre 4a29 soit divisible par 11.

Indice : Écris le nombre comme une somme de chiffres multipliés par des puissances de 10, puis remplace chaque puissance par sa congruence modulo 11.

Correction

1. Étape 1 : Le critère de divisibilité par 9 (exercice 37004) venait de 10 1. Modulo 11, la congruence change de signe — et c'est ce signe qui va faire apparaître une somme alternée.
2. Étape 2 : a) La première congruence est immédiate :

   10 = 11 - 1 10 -1 11

3. Étape 3 : On élève à la puissance k. Les congruences se multiplient entre elles, donc elles s'élèvent aux puissances :

   10^{\,k} (-1)^k 11

4. Étape 4 : Autrement dit : 10^{\,k} 1 si k est pair, et 10^{\,k} -1 si k est impair.
5. Étape 5 : b) Un nombre s'écrit comme une somme de chiffres multipliés par des puissances de 10. En remplaçant chaque puissance par sa congruence :

   c_n c_1 c_0 = _k c_k\,10^{\,k} _k c_k\,(-1)^k 11

6. Étape 6 : D'où le critère. On additionne les chiffres de rang pair et l'on retranche ceux de rang impair — en comptant les rangs depuis les unités : Critère de divisibilité par 11 : Un nombre est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres, en partant des unités, est divisible par 11.
7. Étape 7 : c) On applique à 81\,753, en partant du chiffre des unités :

   3 - 5 + 7 - 1 + 8 = 12

8. Étape 8 : 12 n'est pas divisible par 11 — il laisse le reste 1. Donc 81\,753 n'est pas divisible par 11, et son reste vaut 1 :

   81\,753 = 11 7\,432 + 1

9. Étape 9 : Le critère donne donc le reste, pas seulement la réponse par oui ou non. En retirant 1, on obtient 81\,752 = 11 7\,432, exactement divisible.
10. Étape 10 : d) Le nombre 4a29 a pour chiffres, depuis les unités : 9, 2, a, 4. Sa somme alternée vaut donc :

    9 - 2 + a - 4 = a + 3

11. Étape 11 : On cherche a entre 0 et 9 tel que a + 3 soit divisible par 11. La seule possibilité est a + 3 = 11, donc :

    a = 8

12. Étape 12 : Vérification : 4\,829 = 11 439 ✓. Le rang se compte depuis les UNITÉS : Commencer par la gauche donne 8 - 1 + 7 - 5 + 3 = 12 ici — le même résultat par chance, car le nombre a un nombre impair de chiffres. Avec un nombre PAIR de chiffres, les deux sens donnent des sommes opposées : 4829 rend +11 depuis la droite et -11 depuis la gauche. La conclusion reste bonne ici (les deux sont divisibles par 11), mais le RESTE calculé serait faux. Trois critères, une seule idée : Par 9 : 10 1, donc on additionne les chiffres. Par 11 : 10 -1, donc on les alterne. Par 2 ou 5 : 10 0, donc seul le dernier chiffre compte. Les trois se retrouvent en cherchant à quoi 10 est congru.