Théorème de Gauss

Énoncé

a) Soit n un entier divisible par 4 et par 9. Montrer que n est divisible par 36. b) Le résultat reste-t-il vrai si l'on remplace 4 et 9 par 4 et 6 ? Justifier.

Indice : Le théorème de Gauss s'applique quand deux nombres sont premiers entre eux. Vérifie cette hypothèse avant de l'invoquer — et cherche un contre-exemple pour la question b).

Correction

1. Étape 1 : Le théorème de Gauss est l'outil qui permet de « simplifier » une divisibilité. C'est le seul du chapitre à porter une hypothèse aussi importante que sa conclusion. Théorème de Gauss : Si a divise b\,c et que a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. L'hypothèse « premiers entre eux » n'est pas une formalité : la question b) montre ce qui se passe sans elle.
2. Étape 2 : a) On traduit l'hypothèse. 4 divise n signifie qu'il existe un entier k tel que :

   n = 4k

3. Étape 3 : On utilise la seconde hypothèse. 9 divise n, donc 9 divise 4k :

   9 4k

4. Étape 4 : On vérifie l'hypothèse de Gauss avant de l'appliquer : 4 = 2^2 et 9 = 3^2 n'ont aucun facteur premier commun, donc PGCD(4, 9) = 1.
5. Étape 5 : Gauss s'applique : 9 divise 4k et 9 est premier avec 4, donc 9 divise k. Il existe donc un entier m tel que :

   k = 9m

6. Étape 6 : On remonte à n :

   n = 4k = 4 9m = 36m

7. Étape 7 : n est donc bien divisible par 36.
8. Étape 8 : b) Le résultat tombe avec l'hypothèse. Prenons n = 12 : il est divisible par 4 (12 = 4 3) et par 6 (12 = 6 2), mais pas par 24.

   4 12 6 12 24 12

9. Étape 9 : La raison est exactement l'hypothèse manquante : PGCD(4, 6) = 2 1. Les deux nombres partagent le facteur 2, qui est donc compté deux fois dans le produit 4 6 = 24 alors qu'une seule suffit.

   PPCM(4,6) = 4 6{PGCD(4,6)} = 24{2} = 12

10. Étape 10 : Le bon énoncé général est donc : si a n et b n, alors PPCM(a,b) n — et ce PPCM ne vaut ab que lorsque a et b sont premiers entre eux. Sans « premiers entre eux », Gauss est FAUX : Le théorème dit que 9 4k entraîne 9 k parce que 9 et 4 n'ont rien en commun. Avec 6 4k, on ne peut RIEN conclure sur k : k = 3 donne 4k = 12, divisible par 6, alors que 6 3. Vérifier l'hypothèse est donc la première chose à faire, jamais la dernière. Où Gauss sert déjà dans ce chapitre : L'exercice 37008 l'utilise sans le nommer : de 7(x-x_0) = -5(y-y_0), on conclut que 7 divise y - y_0 parce que 7 et 5 sont premiers entre eux. C'est exactement ce théorème, et c'est lui qui donne la forme de toutes les solutions.