PPCM

Énoncé

Calculer PPCM(84, 60).

Indice : Utilise la relation PGCD(a, b) PPCM(a, b) = ab.

Correction

1. Étape 1 : Le PPCM se déduit du PGCD sans nouveau calcul, grâce à une relation qui les lie : PGCD et PPCM : PGCD(a,b) PPCM(a,b) = a b Elle vient de la décomposition : pour chaque facteur premier, le PGCD prend le plus petit exposant et le PPCM le plus grand — leur somme est donc la somme des deux exposants.
2. Étape 2 : Le produit des deux nombres :

   84 60 = 5\,040

3. Étape 3 : On divise par le PGCD, connu depuis le 37005 :

   PPCM(84,60) = 5\,040{12} = 420

4. Étape 4 : Contrôle par la décomposition. 84 = 2^2 3 7 et 60 = 2^2 3 5 ; en prenant le plus GRAND exposant de chaque facteur :

   PPCM = 2^2 3 5 7 = 420 \

5. Étape 5 : Second contrôle, plus simple encore : le PPCM doit être un multiple des deux nombres. 420 = 84 5 et 420 = 60 7 ✓. La relation porte sur DEUX nombres seulement : PGCD PPCM = ab est fausse dès qu'il y a trois nombres. Pour 2, 3 et 4 : le PGCD vaut 1, le PPCM 12, et leur produit 12 — alors que 2 3 4 = 24. Le PPCM est toujours entre le plus grand et le produit : Ici entre 84 et 5\,040, et 420 y est. Il vaut le produit exactement quand les deux nombres sont premiers entre eux — c'est-à-dire quand le PGCD vaut 1.