Fraction irréductible

Énoncé

Rendre la fraction 84{60} irréductible.

Indice : Divise numérateur et dénominateur par leur PGCD.

Correction

1. Étape 1 : Rendre une fraction irréductible, c'est diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD — et par lui seul, car c'est le plus grand facteur qu'on puisse retirer. Diviser par un diviseur commun plus petit simplifie sans terminer le travail.
2. Étape 2 : Le PGCD a été calculé au 37005 :

   PGCD(84, 60) = 12

3. Étape 3 : On divise en haut et en bas :

   84{60} = 84 12{60 12} = 7{5}

4. Étape 4 : On vérifie que c'est bien terminé. 7 est premier et ne divise pas 5, donc PGCD(7,5) = 1 : la fraction est irréductible.

   84{60} = 7{5}

5. Étape 5 : Contrôle numérique : 84{60} = 1{,}4 et 7{5} = 1{,}4. Les deux fractions représentent bien le même nombre. Simplifier par étapes laisse souvent le travail à moitié fait : Diviser par 2 donne 42{30}, puis par 2 encore 21{15}, puis par 3 enfin 7{5}. On y arrive, mais en trois fois — et s'arrêter à 21{15} en croyant avoir fini est l'erreur courante. Passer par le PGCD termine en une seule division, et garantit qu'on a fini. Le PGCD se lit aussi sur la décomposition : 84 = 2^2 3 7 et 60 = 2^2 3 5 : les facteurs communs sont 2^2 3 = 12, et ce qui reste est 7 et 5. On obtient PGCD et fraction réduite d'un seul coup.