Équation diophantienne

Énoncé

Résoudre dans Z^2 l'équation 84x + 60y = 12.

Indice : Utilise une solution particulière trouvée précédemment, puis applique la formule générale.

Correction

1. Étape 1 : Une équation diophantienne se résout en trois temps, toujours les mêmes : existence, une solution particulière, puis toutes les autres. Condition d'existence : ax + by = c a des solutions entières si et seulement si PGCD(a,b) divise c.
2. Étape 2 : Existence. PGCD(84,60) = 12, et 12 divise bien 12 : il y a des solutions.
3. Étape 3 : Une solution particulière est fournie par le 37007 :

   (x_0, y_0) = (-2,\ 3)

4. Étape 4 : Toutes les autres. Si (x,y) est une autre solution, la soustraction des deux équations donne 84(x - x_0) + 60(y - y_0) = 0. En divisant par 12 :

   7\,(x - x_0) = -5\,(y - y_0)

5. Étape 5 : 7 divise donc 5(y-y_0), et comme 7 et 5 sont premiers entre eux, le théorème de Gauss dit que 7 divise y - y_0. On pose y - y_0 = -7k, d'où x - x_0 = 5k :

   x = -2 + 5k y = 3 - 7k k Z

6. Étape 6 : Vérification pour tout k, ce qui contrôle la forme entière et pas seulement un cas :

   84(-2+5k) + 60(3-7k) = -168 + 420k + 180 - 420k = 12 \

7. Étape 7 : Les k disparaissent, et c'est le signe que la forme est correcte : 420k d'un côté, -420k de l'autre. Si un k subsistait, la famille ne serait pas solution. Les coefficients sont a/PGCD et b/PGCD, pas a et b : On ajoute 60{12} = 5 à x et l'on retranche 84{12} = 7 à y — jamais 60 et 84. Avec les coefficients non divisés on n'obtiendrait qu'une partie des solutions : il en manquerait sept sur huit. Le contrôle qui valide toute la famille d'un coup : Remplacer x et y par leurs expressions en k dans l'équation de départ, et vérifier que les termes en k s'annulent. Tester un seul k ne prouverait que ce cas-là ; ce calcul-ci les couvre tous.