Nombres premiers entre eux

Énoncé

Montrer que n et n+1 sont premiers entre eux pour tout n Z.

Indice : Utilise l'identité de Bézout : trouve u et v tels que nu + (n+1)v = 1.

Correction

1. Étape 1 : On a 1 (n+1) + (-1) n = n + 1 - n = 1.
2. Étape 2 : Donc il existe u = -1 et v = 1 tels que nu + (n+1)v = 1.
3. Étape 3 : Par le théorème de Bézout, PGCD(n, n+1) = 1 : n et n+1 sont premiers entre eux.

   PGCD(n, n+1) = 1