Nombres premiers entre eux

Énoncé

Montrer que n et n+1 sont premiers entre eux pour tout n Z.

Indice : Utilise l'identité de Bézout : trouve u et v tels que nu + (n+1)v = 1.

Correction

1. Étape 1 : Il faut montrer que le PGCD vaut 1 pour tout entier n : un exemple ne suffit donc pas. Le théorème de Bézout donne exactement l'outil qu'il faut. Bézout : a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers u, v tels que au + bv = 1. Il suffit donc d'EXHIBER un tel couple.
2. Étape 2 : On cherche une combinaison qui vaut 1. Ici elle saute aux yeux, car les deux nombres sont consécutifs :

   (n+1) - n = 1

3. Étape 3 : On l'écrit sous la forme de Bézout, avec a = n et b = n+1 :

   n (-1) + (n+1) 1 = -n + n + 1 = 1

4. Étape 4 : Le couple (u, v) = (-1, 1) convient, et il ne dépend PAS de n — c'est ce qui rend la démonstration valable pour tous les entiers d'un coup :

   PGCD(n,\ n+1) = 1

5. Étape 5 : Une seconde démonstration, sans Bézout. Tout diviseur commun d à n et n+1 divise leur différence, qui vaut 1. Or le seul diviseur positif de 1 est 1 lui-même, donc d = 1. Un exemple ne démontre rien : Vérifier que PGCD(7, 8) = 1 ne prouve pas l'énoncé : il porte sur TOUT n de Z. Ce qui fait la preuve ici, c'est que le couple (-1, 1) marche quel que soit n — la relation est une identité, pas un calcul. Le réflexe des entiers consécutifs : Deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux, et de même n et 2n+1, ou 2n+1 et 2n+3. À chaque fois, chercher la combinaison qui donne 1 — elle est souvent une simple différence.