Critères de divisibilité

Énoncé

Le nombre 123456 est-il divisible par 3 ? Par 9 ?

Indice : Utilise le critère de divisibilité par 3 et 9 : la somme des chiffres doit être divisible.

Correction

1. Étape 1 : Les critères de divisibilité par 3 et par 9 sont bien connus, mais rarement justifiés. La raison tient en une congruence, et elle explique du même coup pourquoi ils ne marchent que pour ces deux nombres. Pourquoi la somme des chiffres : 10 1 9, donc 10^k 1 pour tout k. Un nombre est donc congru à la somme de ses chiffres, modulo 9 — et modulo 3 puisque 3 divise 9.
2. Étape 2 : Concrètement, pour 123456 :

   123456 = 110^5 + 210^4 + + 6 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 9

3. Étape 3 : On calcule la somme des chiffres :

   1+2+3+4+5+6 = 21

4. Étape 4 : Divisibilité par 3. 21 = 3 7, donc 21 0 3 : le nombre est divisible par 3.
5. Étape 5 : Divisibilité par 9. 21 = 9 2 + 3, donc 21 3 9 : le nombre n'est pas divisible par 9, et son reste modulo 9 vaut 3.

   123456 3 9

6. Étape 6 : Contrôle par une seconde somme. On peut réappliquer le critère à 21 : 2 + 1 = 3. On retrouve le reste 3 directement, et cette itération marche toujours — c'est ce qu'on appelle la « preuve par neuf ». Ce critère ne vaut QUE pour 3 et 9 : Il repose sur 10 1, ce qui est propre aux diviseurs de 9. Pour 11, on a 10 -1, d'où un critère à signes ALTERNÉS. Pour 7 ou 13, aucun critère simple sur les chiffres n'existe. Divisible par 9 implique divisible par 3, jamais l'inverse : 123456 le montre : divisible par 3, pas par 9. Si la somme des chiffres est divisible par 9, les deux critères passent d'un coup — il suffit alors d'un seul calcul.