Congruences simples

Énoncé

Déterminer le reste de la division de 123 par 7.

Indice : Utilise les propriétés des congruences pour simplifier le calcul.

Correction

1. Étape 1 : Une congruence n'est rien d'autre qu'un reste, écrit autrement. Dire 123 4 7, c'est dire que 123 et 4 ont le même reste dans la division par 7. L'intérêt de cette écriture apparaîtra aux exercices 37011 et suivants : elle se manipule comme une égalité.
2. Étape 2 : On effectue la division euclidienne :

   123 = 7 17 + 4

3. Étape 3 : On vérifie l'encadrement du reste, comme au 37002 : 0 4 < 7 ✓.
4. Étape 4 : D'où la congruence :

   123 4 7

5. Étape 5 : Comment trouver 17 sans calculatrice. On cherche le plus grand multiple de 7 sous 123 : 7 10 = 70, 7 20 = 140 (trop), donc entre 10 et 20. 7 17 = 119 et 7 18 = 126 (trop). Le quotient est 17, le reste 123 - 119 = 4. Le reste n'est jamais négatif ni supérieur au diviseur : Répondre 123 11 7 est vrai au sens de la congruence (11 - 4 = 7), mais ce n'est pas LE reste. La question demandant « le reste », la seule réponse acceptable est celle qui vit dans \{0, 1, , 6\}. Encadrer par des multiples ronds : Pour un diviseur d, calculer 10d, 20d, 100d… et encadrer le dividende. On trouve le quotient en deux essais. Ici 70 < 123 < 140 donne immédiatement un quotient entre 10 et 20.