Division euclidienne

Énoncé

Effectuer la division euclidienne de -47 par 6.

Indice : Rappelle-toi que le reste doit être positif ou nul et strictement inférieur au diviseur.

Correction

1. Étape 1 : Le dividende est NÉGATIF, et c'est tout le piège de l'exercice. La condition qui décide est celle qui porte sur le reste. Division euclidienne : a = bq + r avec 0 r < |b| Le reste est toujours positif ou nul, même quand a est négatif.
2. Étape 2 : On part du positif, plus facile à manipuler :

   47 = 6 7 + 5

3. Étape 3 : On passe à l'opposé, ce qui donne un reste négatif — donc pas encore la bonne écriture :

   -47 = 6 (-7) - 5

4. Étape 4 : On rend le reste positif en retirant 1 au quotient, ce qui libère 6 à ajouter au reste :

   -47 = 6 (-7) - 6 + 6 - 5 = 6 (-8) + 1

5. Étape 5 : On vérifie les deux conditions, pas seulement l'égalité :

   6 (-8) + 1 = -48 + 1 = -47 \ 0 1 < 6 \

6. Étape 6 : Le quotient est donc q = -8 et le reste r = 1. q = -7 et r = -5 est la réponse fausse la plus fréquente : L'égalité -47 = 6 (-7) - 5 est pourtant EXACTE. Ce qui cloche est la seconde condition : -5 n'est pas dans [0\,;\,6[. Une division euclidienne ne se vérifie donc jamais par la seule égalité — il faut TOUJOURS contrôler l'encadrement du reste. Le quotient est la partie entière PAR DÉFAUT : q = -47{6} , et -47{6} -7{,}83, dont la partie entière par défaut est -8 (l'entier immédiatement INFÉRIEUR). C'est le raccourci le plus sûr : arrondir vers le bas, jamais vers zéro.