Divisibilité de base

Énoncé

Déterminer tous les diviseurs positifs de 36.

Indice : Utilise la décomposition en facteurs premiers de 36.

Correction

1. Étape 1 : Lister les diviseurs à la main, c'est risquer d'en oublier. La décomposition en facteurs premiers les donne tous, et permet en plus de les compter avant de les écrire. Diviseurs et décomposition : Si N = p^a q^b, ses diviseurs sont exactement les p^ q^ avec 0 a et 0 b. Leur nombre est donc (a+1)(b+1).
2. Étape 2 : On décompose :

   36 = 4 9 = 2^2 3^2

3. Étape 3 : On compte avant de lister. Les exposants sont 2 et 2, donc il y aura :

   (2+1)(2+1) = 9 diviseurs

4. Étape 4 : On les énumère en croisant les puissances de 2 (1, 2, 4) et celles de 3 (1, 3, 9) :

   array{c|ccc} & 1 & 3 & 9 1 & 1 & 3 & 9 2 & 2 & 6 & 18 4 & 4 & 12 & 36 array

5. Étape 5 : La liste complète, rangée dans l'ordre :

   \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 12,\ 18,\ 36\}

6. Étape 6 : Le compte tombe juste : 9 diviseurs annoncés, 9 trouvés. C'est ce contrôle qui garantit qu'aucun n'a été oublié. Les diviseurs vont par PAIRES : 1 36, 2 18, 3 12, 4 9, et 6 avec lui-même. Un nombre a donc un nombre IMPAIR de diviseurs si et seulement si c'est un carré parfait — 36 = 6^2 en est un, d'où ses 9 diviseurs. Le tableau croisé ne laisse rien passer : Une ligne par puissance du premier facteur, une colonne par puissance du second : chaque case est un diviseur, et il y en a exactement (a+1)(b+1). Énumérer « de tête » fait presque toujours perdre le 12 ou le 18.