Somme trigonométrique via complexes

Énoncé

Calculer S = + (2) + + (n) en utilisant les nombres complexes.

Indice : Considère T = e^{i} + e^{i2} + + e^{in} et utilise que S = Re(T).

Correction

  1. Étape 1 : Additionner n cosinus n'a rien d'évident. L'idée est de les voir comme les parties réelles de termes complexes, dont la somme est géométrique — et qu'on sait donc calculer. La stratégie : On pose T = e^{ik}, on calcule T comme somme géométrique, puis S = Re(T).
  2. Étape 2 : La somme géométrique, de premier terme e^{i}, de raison e^{i} et de n termes. Elle suppose e^{i} 1, c'est-à-dire 0 2 :

    T = e^{i}\,1 - e^{in}{1 - e^{i}} = e^{i - e^{i(n+1)}}{1 - e^{i}}

  3. Étape 3 : L'astuce de l'angle moitié. On factorise en haut et en bas par l'exponentielle de la MOITIÉ de l'angle, pour faire apparaître des différences symétriques :

    1 - e^{i} = e^{i/2}(e^{-i/2} - e^{i/2}) = e^{i/2} (-2i{2})

  4. Étape 4 : De même au numérateur, en factorisant par e^{i(n+1)/2} :

    e^{i} - e^{i(n+1)} = e^{i(n+1)/2}(e^{-i(n-1)/2} - e^{i(n-1)/2})

  5. Étape 5 : ⚠️ Le calcul se conduit plus sûrement en factorisant le numérateur par e^{i(n+1)/2} après avoir mis e^{i} en facteur. On aboutit à :

    T = e^{i(n+1){2}} {n{2}}{{2}}

  6. Étape 6 : C'est la forme qu'il fallait atteindre : un module réel positif multiplié par une exponentielle pure. Le facteur (n/2){(/2)} est réel, donc il sort de la partie réelle.
  7. Étape 7 : On prend la partie réelle, et Re(e^{i}) = :

    S = Re(T) = {n{2}}{{2}}\,(n+1){2}

  8. Étape 8 : Contrôle numérique, indispensable sur une formule de cette longueur. Pour n = 5 et = 0{,}7 : la somme directe des cinq cosinus vaut -1{,}448716, et la formule donne -1{,}448716. Vérifié aussi pour (n,) = (3\,;\,2{,}1) et (8\,;\,0{,}35).
  9. Étape 9 : La partie imaginaire donne gratuitement la somme des sinus : (k) = {n{2}}{{2}}\,(n+1){2}. Un seul calcul, deux formules. Le cas 0 est exclu, et il faut le dire : Si est un multiple de 2, la raison vaut 1 : la formule de la somme géométrique ne s'applique plus, et {2} = 0 au dénominateur. Dans ce cas, tous les cosinus valent 1 et la somme vaut simplement n. L'angle moitié est LE réflexe de ce genre de calcul : Devant 1 - e^{i}, factoriser par e^{i/2} fait apparaître -2i{2} — un réel, à un facteur i près. C'est ce qui permet de séparer module et argument, donc de prendre la partie réelle.