Somme trigonométrique via complexes

Énoncé

Calculer S = + (2) + + (n) en utilisant les nombres complexes.

Indice : Considère T = e^{i} + e^{i2} + + e^{in} et utilise que S = Re(T).

Correction

1. Étape 1 : On pose T = e^{i} + e^{i2} + + e^{in}. C'est une somme géométrique de raison e^{i}.
2. Étape 2 : Si e^{i} 1 (i.e. 0 2), alors :
3. Étape 3 : T = e^{i(1 - e^{in})}{1 - e^{i}} = e^{i - e^{i(n+1)}}{1 - e^{i}}
4. Étape 4 : En multipliant numérateur et dénominateur par e^{-i{2}} :
5. Étape 5 : T = e^{i{{2}} - e^{i(n+1{2})}}{e^{-i{2}} - e^{i{2}}} = e^{i{{2}} - e^{i(n+1{2})}}{-2i{2}}
6. Étape 6 : En utilisant les formules d'Euler et en prenant la partie réelle, on obtient :
7. Étape 7 : S = Re(T) = ({n{2})}{({2})} ((n+1){2})

   S = ({n{2})}{({2})} ((n+1){2})