Transformation composée

Énoncé

Soit f la transformation qui à z associe z' = (1 + i)z + 2 - i. a) Déterminer le point invariant de f. b) Montrer que pour tout z, z' - = (1 + i)(z - ). c) Caractériser géométriquement f.

Indice : Un point invariant vérifie z = f(z). Pour la partie b), factorise pour faire apparaître une rotation.

Correction

1. Étape 1 : L'écriture z' = az + b décrit une similitude directe dès que a 1. Sa nature se lit sur le module de a : |a| = 1 ⟹ rotation · a réel ⟹ homothétie · sinon ⟹ les deux à la fois, de même centre. Ici |1+i| = 2 1 et 1+i n'est pas réel : ce sera donc une similitude, jamais une simple rotation.
2. Étape 2 : a) Le point invariant vérifie = f() :

   = (1+i) + 2 - i - (1+i) = 2 - i

3. Étape 3 : On factorise :

   (1 - 1 - i)\, = 2 - i -i\, = 2-i

4. Étape 4 : On divise par -i, en multipliant par i en haut et en bas :

   = 2-i{-i} = (2-i)\,i{-i^2} = 2i - i^2{1} = 1 + 2i

5. Étape 5 : Vérification : (1+i)(1+2i) + 2 - i = 1 + 2i + i - 2 + 2 - i = 1 + 2i ✓. Le point est bien invariant.

   = 1 + 2i

6. Étape 6 : b) On part de la définition et l'on retranche des deux côtés :

   z' - = (1+i)z + 2 - i -

7. Étape 7 : Or = (1+i) + 2 - i par définition du point invariant, donc 2 - i = - (1+i). En substituant :

   z' - = (1+i)z + - (1+i) - = (1+i)(z - )

8. Étape 8 : c) On met 1+i sous forme exponentielle pour lire la transformation :

   1 + i = 2\,e^{i/4}

9. Étape 9 : f est donc la similitude directe de centre = 1+2i, de rapport 2 et d'angle {4} — c'est-à-dire la composée d'une rotation d'un huitième de tour et d'une homothétie de rapport 2, toutes deux centrées en . Ce n'est PAS une rotation composée à une translation : Une telle composée conserve les longueurs, donc son rapport vaut 1. Ici |1+i| = 2 : les distances au centre sont multipliées par 1{,}41. L'homothétie est indispensable, et l'oublier fait décrire une transformation qui n'est pas f. Trois nombres suffisent à tout décrire : Le centre (point invariant), le rapport (|a|) et l'angle ( a). Une fois ces trois-là calculés, la transformation est entièrement caractérisée — et la forme réduite z' - = a(z-) les contient tous les trois.