Transformation composée

Énoncé

Soit f la transformation qui à z associe z' = (1 + i)z + 2 - i. a) Déterminer le point invariant de f. b) Montrer que f est la composée d'une rotation et d'une translation. c) Caractériser géométriquement f.

Indice : Un point invariant vérifie z = f(z). Pour la partie b), factorise pour faire apparaître une rotation.

Correction

  1. Étape 1 : **a)** Un point invariant vérifie = (1 + i) + 2 - i, soit (1 - 1 - i) = 2 - i, donc -i = 2 - i.
  2. Étape 2 : Ainsi = 2 - i{-i} = (2 - i)i{-i^2} = 2i - i^2{1} = 2i + 1 = 1 + 2i.
  3. Étape 3 : **b)** On a 1 + i = 2e^{i{4}}. Écrivons z' - = (1 + i)(z - ).
  4. Étape 4 : Vérifions : (1 + i)(z - ) + = (1 + i)z - (1 + i) + = (1 + i)z + (1 - 1 - i) = (1 + i)z + 2 - i (car = 1 + 2i).
  5. Étape 5 : **c)** f est une similitude directe : rotation de centre = 1 + 2i et d'angle {4}, composée avec une homothétie de centre et de rapport 2.

    Similitude directe de centre 1 + 2i