Racines quatrièmes et somme

Énoncé

Soit = e^{i{2}} = i. a) Vérifier que 1, , ^2, ^3 sont les racines quatrièmes de 1. b) Calculer 1 + + ^2 + ^3. c) En déduire une factorisation de z^4 - 1.

Indice : Utilise les propriétés des racines de l'unité et la formule de la somme géométrique.

Correction

1. Étape 1 : **a)** ^0 = 1, ^1 = i, ^2 = i^2 = -1, ^3 = i^3 = -i, ^4 = i^4 = 1. Donc ^k pour k = 0, 1, 2, 3 sont bien les racines quatrièmes de 1.
2. Étape 2 : **b)** 1 + + ^2 + ^3 = 1 + i + (-1) + (-i) = 0
3. Étape 3 : **c)** Comme 1, , ^2, ^3 sont les racines de z^4 - 1 = 0, on a :
4. Étape 4 : z^4 - 1 = (z - 1)(z - )(z - ^2)(z - ^3) = (z - 1)(z - i)(z + 1)(z + i)

   z^4 - 1 = (z - 1)(z - i)(z + 1)(z + i)