Racines quatrièmes et somme

Énoncé

Soit = e^{i{2}} = i. a) Vérifier que 1, , ^2, ^3 sont les racines quatrièmes de 1. b) Calculer 1 + + ^2 + ^3. c) En déduire une factorisation de z^4 - 1.

Indice : Utilise les propriétés des racines de l'unité et la formule de la somme géométrique.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions qui s'enchaînent : on vérifie que les ^k sont des racines, on en somme les quatre, puis on en déduit une factorisation. Chaque réponse sert à la suivante.
2. Étape 2 : a) On calcule les quatre puissances, en se servant du cycle du 36004 :

   ^0 = 1 ^1 = i ^2 = -1 ^3 = -i

3. Étape 3 : Chacune est bien racine quatrième de 1 : élever au carré deux fois donne 1 dans les quatre cas, car (^k)^4 = (^4)^k = 1^k = 1.
4. Étape 4 : Et il n'y en a pas d'autres : z^4 - 1 est un polynôme de degré 4, donc il a au plus quatre racines. En ayant trouvé quatre distinctes, on les a toutes.
5. Étape 5 : b) La somme, où les termes se compensent deux à deux :

   1 + i + (-1) + (-i) = 0

6. Étape 6 : c) Un polynôme de degré 4 dont on connaît les quatre racines se factorise complètement :

   z^4 - 1 = (z-1)(z-i)(z+1)(z+i)

7. Étape 7 : Vérification par regroupement, en appariant les facteurs conjugués :

   (z-1)(z+1) = z^2 - 1 (z-i)(z+i) = z^2 + 1

8. Étape 8 : Et leur produit redonne bien le départ :

   (z^2-1)(z^2+1) = z^4 - 1 \

9. Étape 9 : Que la somme des racines soit nulle n'est pas un hasard : Le polynôme z^4 - 1 n'a pas de terme en z^3, et ce coefficient vaut l'opposé de la somme des racines. Ce résultat vaut pour toutes les racines n-ièmes de l'unité dès que n 2 : leur somme est TOUJOURS nulle — géométriquement, elles se répartissent régulièrement sur le cercle et leur barycentre est le centre. Grouper les conjugués fait apparaître les facteurs réels : (z-i)(z+i) = z^2+1 n'a plus de i. C'est la manière d'obtenir une factorisation dans R à partir d'une factorisation dans C : on apparie chaque racine avec sa conjuguée.