Lieu géométrique : médiatrice

Énoncé

Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que |z - 1| = |z - i|.

Indice : Traduis en coordonnées réelles z = x + iy et simplifie.

Correction

1. Étape 1 : Deux méthodes existent : la voie géométrique (reconnaître une équidistance) et la voie algébrique (poser z = x+iy). La première donne la réponse en une ligne, la seconde la démontre. On fait ici la seconde, en gardant la première comme contrôle.
2. Étape 2 : On pose z = x + iy avec x et y réels, puis on écrit les deux modules :

   |z - 1| = |(x-1) + iy| |z - i| = |x + i(y-1)|

3. Étape 3 : On égale, ce qui donne une équation avec des racines :

   (x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2

4. Étape 4 : On élève au carré. C'est licite car les deux membres sont positifs :

   (x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2

5. Étape 5 : On développe :

   x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1

6. Étape 6 : Les x^2, les y^2 et les 1 se simplifient, ce qui laisse une équation du premier degré :

   -2x = -2y y = x

7. Étape 7 : L'ensemble cherché est donc la droite d'équation y = x, la première bissectrice.
8. Étape 8 : Contrôle géométrique, qui donne la réponse sans un calcul. |z-1| = |z-i| dit que M est à égale distance des points d'affixes 1 et i, soit A(1\,;\,0) et B(0\,;\,1) : c'est la médiatrice de [AB]. Or le milieu de [AB] est (12\,;\,12), qui est bien sur la droite y = x ✓. Élever au carré n'est pas toujours licite : Ici ça l'est, car un module est toujours positif — l'équivalence est donc conservée. Mais devant une équation où un membre pourrait être négatif, élever au carré ajoute des solutions parasites qu'il faut ensuite éliminer. Faire la géométrie d'abord, l'algèbre ensuite : Reconnaître « équidistance de deux points » donne la réponse immédiatement, et le calcul ne sert plus qu'à la confirmer. Commencer par poser z = x+iy sans avoir regardé la structure fait toujours travailler plus.