Points alignés

Énoncé

Les points A, B, C d'affixes respectives 1 + i, 2 + 3i et 4 + 7i sont-ils alignés ?

Indice : Trois points sont alignés si c - a{b - a} R.

Correction

1. Étape 1 : Trois points sont alignés lorsque les vecteurs qui les joignent ont la même direction. En complexes, cela se lit sur un quotient. Critère d'alignement : A, B, C sont alignés si et seulement si c-a{b-a} est RÉEL (et b a). Pourquoi ? L'argument de ce quotient est l'angle entre AB et AC. Il est réel exactement quand cet angle vaut 0 ou , c'est-à-dire quand les vecteurs sont colinéaires.
2. Étape 2 : On calcule les deux différences :

   c - a = (4+7i)-(1+i) = 3 + 6i b - a = (2+3i)-(1+i) = 1 + 2i

3. Étape 3 : On forme le quotient. Ici la factorisation est immédiate :

   3+6i{1+2i} = 3(1+2i){1+2i} = 3

4. Étape 4 : Le quotient vaut 3, un réel, donc les trois points sont alignés.
5. Étape 5 : Le nombre 3 dit même davantage. Il signifie AC = 3\,AB : le point C est trois fois plus loin de A que B, dans la même direction et le même sens. B est donc entre A et C.

   AC = 3\,AB

6. Étape 6 : Contrôle par les coordonnées : AB(1\,;\,2) et AC(3\,;\,6). Le déterminant vaut 1 6 - 2 3 = 0 ✓ — c'est le critère de colinéarité vu en Première, et il confirme. Un quotient réel NÉGATIF signifie aussi aligné : Un réel négatif donne un argument de , donc des vecteurs de sens opposés — mais toujours la même direction. Le critère porte sur « le quotient est réel », jamais sur son signe. Chercher la factorisation avant de multiplier par le conjugué : Ici 3+6i = 3(1+2i) : le quotient se simplifie en une ligne. Passer par le conjugué donnerait le même résultat en quatre produits — c'est plus long et plus risqué.