Lieu géométrique : cercle

Énoncé

Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que |z - 1 + i| = 3.

Indice : Rappelle-toi que |z - | = R représente un cercle de centre d'affixe et de rayon R.

Correction

1. Étape 1 : Un module est une distance : |z - a| est la distance entre les points d'affixes z et a. Toute condition sur des modules se traduit donc en condition géométrique. Le cercle : |z - a| = r décrit le cercle de centre le point d'affixe a et de rayon r.
2. Étape 2 : On met l'expression sous la forme |z - a|, ce qui demande de factoriser le signe :

   |z - 1 + i| = |z - (1 - i)|

3. Étape 3 : On reconnaît alors le cercle de centre le point d'affixe 1 - i et de rayon 3.
4. Étape 4 : En coordonnées, l'affixe 1 - i correspond au point :

   (1\,;\,-1) rayon 3

5. Étape 5 : Contrôle sur un point. Le point d'affixe 4 - i est à distance |4-i-1+i| = |3| = 3 du centre : il appartient donc au cercle, et c'est cohérent avec un centre en (1,-1) et un rayon 3. Le signe s'inverse en passant à l'affixe du centre : |z - 1 + i| se réécrit |z - (1 - i)| : le centre est 1 - i, PAS 1 + i. Lire le centre directement sur l'expression donne un point symétrique du bon — l'erreur est invisible dans la forme de la réponse (c'est bien un cercle), donc rien ne la signale. Traduire chaque module en distance : |z - a| = distance de M à A. |z| = distance à l'origine. |z - a| = |z - b| = équidistance, donc médiatrice (exercice 36012). Avec cette seule lecture, tous les lieux géométriques du chapitre se reconnaissent sans calcul.