Rotation et translation

Énoncé

Déterminer la transformation qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = iz + 1 - i.

Indice : Factorise pour faire apparaître une rotation. Écris z' sous la forme z' - = e^{i}(z - ).

Correction

1. Étape 1 : Reconnaître une transformation géométrique derrière une écriture complexe se fait en la mettant sous une forme réduite. Tout se joue sur la factorisation. Les formes à reconnaître : z' = z + b : translation de vecteur d'affixe b z' - = e^{i}(z - ) : rotation de centre , d'angle z' - = k(z - ) avec k réel : homothétie de centre , de rapport k
2. Étape 2 : Le coefficient de z est i, de module 1 : ce n'est donc pas une homothétie, mais une rotation. On cherche son centre en factorisant :

   z' = iz + 1 - i = i(z - 1) + 1

3. Étape 3 : On isole la forme réduite en passant le 1 à gauche :

   z' - 1 = i\,(z - 1)

4. Étape 4 : On reconnaît, puisque i = e^{i/2} :

   z' - 1 = e^{i/2}(z - 1)

5. Étape 5 : C'est la rotation de centre le point d'affixe 1 et d'angle {2} — un quart de tour dans le sens direct.
6. Étape 6 : Comment trouver le centre sans deviner. Le centre est le point INVARIANT : on résout = i + 1 - i, soit (1-i) = 1-i, donc = 1. On retrouve bien le même point, et cette méthode marche même quand la factorisation ne saute pas aux yeux. Le module du coefficient décide de la nature : Module 1 ⟹ rotation. Coefficient réel ⟹ homothétie. Coefficient 1 ⟹ translation. Sinon ⟹ similitude, comme au 36014. Commencer par calculer ce module évite de chercher une rotation là où il n'y en a pas. Le point invariant est la clé de tous ces exercices : Résoudre = f() donne le centre directement, sans factorisation astucieuse. Seule exception : une translation n'a aucun point invariant — et c'est justement ce qui la caractérise.