Formule de Moivre

Énoncé

En utilisant la formule de Moivre, exprimer (3) et (3) en fonction de et .

Indice : Utilise ( + i)^3 = (3) + i(3) et développe le membre de gauche.

Correction

1. Étape 1 : L'idée est d'écrire la même quantité de deux façons : par Moivre d'un côté, par développement de l'autre. L'identification des deux écritures donne les formules cherchées. Formule de Moivre : ( + i)^n = (n) + i(n)
2. Étape 2 : Première écriture, par Moivre avec n = 3 :

   ( + i)^3 = (3) + i(3)

3. Étape 3 : Seconde écriture, en développant par la formule du binôme :

   = ^3 + 3^2\,(i) + 3\,(i)^2 + (i)^3

4. Étape 4 : On simplifie les puissances de i, car i^2 = -1 et donc i^3 = -i :

   = ^3 + 3i^2 - 3^2 - i^3

5. Étape 5 : On sépare partie réelle et partie imaginaire :

   = (^3 - 3^2)_{réel} + i(3^2 - ^3)_{imaginaire}

6. Étape 6 : On identifie. Deux complexes égaux ont la même partie réelle et la même partie imaginaire — c'est ce qui autorise à séparer les deux formules :

   (3) = ^3 - 3^2

7. Étape 7 : On élimine le sinus grâce à ^2 = 1 - ^2 :

   (3) = ^3 - 3(1-^2) = 4^3 - 3

8. Étape 8 : De même pour le sinus, avec ^2 = 1 - ^2 :

   (3) = 3(1-^2) - ^3 = 3 - 4^3

9. Étape 9 : Contrôle numérique, à faire systématiquement sur ce genre de formule. Pour = 0{,}4 : (1{,}2) = 0{,}36236 et 4^3(0{,}4) - 3(0{,}4) = 0{,}36236 ✓. L'identification suppose que tout est RÉEL : On identifie parties réelles entre elles parce que (3) et (3) sont des nombres réels. Sans cette remarque, rien n'autoriserait à séparer — et c'est précisément ce qui rend la méthode valide. Un contrôle en = 0 attrape presque tout : 0 = 1 donne 4 - 3 = 1 = 0 ✓, et 0 = 0 donne 0 ✓. Une erreur de coefficient se voit immédiatement, et le calcul est de tête.