Racines cubiques

Énoncé

Déterminer les trois racines cubiques de z = -8 sous forme exponentielle puis algébrique.

Indice : Écris -8 sous forme exponentielle, puis utilise la formule des racines n-ièmes.

Correction

1. Étape 1 : Chercher les racines cubiques d'un complexe, c'est résoudre w^3 = z. La forme exponentielle rend l'affaire mécanique — mais il ne faut pas oublier que l'argument est défini modulo 2, et c'est de là que viennent les trois solutions.
2. Étape 2 : On met -8 sous forme exponentielle. C'est un réel négatif, donc d'argument :

   -8 = 8\,e^{i}

3. Étape 3 : On écrit l'argument sous toutes ses formes, en ajoutant les multiples de 2 :

   -8 = 8\,e^{i( + 2k)}, k Z

4. Étape 4 : On prend la racine cubique : la racine cubique du module, et l'argument divisé par 3 :

   w_k = [3]{8}\ e^{i + 2k{3}} = 2\,e^{i(1+2k){3}}

5. Étape 5 : Seules trois valeurs de k donnent des résultats distincts — k = 0, 1, 2 — car k = 3 ramène à l'argument de k = 0 augmenté de 2 :

   w_0 = 2e^{i/3} w_1 = 2e^{i} w_2 = 2e^{i5/3}

6. Étape 6 : Sous forme algébrique :

   w_0 = 1 + i3 w_1 = -2 w_2 = 1 - i3

7. Étape 7 : Vérification sur la plus simple : (-2)^3 = -8 ✓. Et pour w_0, le module vaut 2 donc |w_0^3| = 8, avec un argument 3 {3} = : on retombe bien sur 8e^{i} = -8 ✓. Il y a TROIS racines cubiques, pas une : Dans R, -8 n'a qu'une racine cubique, -2. Dans C, il y en a exactement trois. S'arrêter à -2 répond à la question réelle, pas à celle qui est posée. Les racines forment un triangle équilatéral : Elles ont toutes le même module 2 et des arguments espacés de 2{3} : elles se répartissent régulièrement sur un cercle. Pour n racines n-ièmes, c'est un polygone régulier à n côtés — un dessin suffit à contrôler qu'on n'en a oublié aucune.