Racines cubiques

Énoncé

Déterminer les trois racines cubiques de z = -8 sous forme exponentielle puis algébrique.

Indice : Écris -8 sous forme exponentielle, puis utilise la formule des racines n-ièmes.

Correction

1. Étape 1 : On a -8 = 8e^{i} (module 8, argument ).
2. Étape 2 : Les racines cubiques sont : w_k = [3]{8}e^{i + 2k{3}} = 2e^{i(1 + 2k){3}} pour k = 0, 1, 2.
3. Étape 3 : w_0 = 2e^{i{3}} = 2(1{2} + i{3}{2}) = 1 + i3
4. Étape 4 : w_1 = 2e^{i} = -2
5. Étape 5 : w_2 = 2e^{i5{3}} = 2(1{2} - i{3}{2}) = 1 - i3

   w_0 = 1 + i3, w_1 = -2, w_2 = 1 - i3