Calcul avec forme exponentielle

Énoncé

Soit z_1 = 2e^{i{3}} et z_2 = 3e^{i{6}}. Calculer z_1z_2, z_1{z_2} et z_1^4 sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

Indice : Utilise les propriétés : z_1z_2 = _1_2e^{i(_1 + _2)} et z^n = ^n e^{in}.

Correction

1. Étape 1 : La forme exponentielle transforme les produits en additions d'angles : c'est pour cela qu'on l'emploie. Tout ce qui suit se lit directement. Les règles de calcul : r e^{i} s\,e^{i} = rs\,e^{i(+)} r e^{i}{s\,e^{i}} = r{s}e^{i(-)} · (re^{i})^n = r^n e^{in}
2. Étape 2 : Le produit : modules multipliés, arguments ajoutés :

   z_1 z_2 = 2 3\ e^{i({3}+{6})} = 6\,e^{i/2} = 6i

3. Étape 3 : Le quotient : modules divisés, arguments soustraits :

   z_1{z_2} = 2{3}\,e^{i({3}-{6})} = 2{3}\,e^{i/6}

4. Étape 4 : On repasse en algébrique, avec {6} = 3{2} et {6} = 12 :

   z_1{z_2} = 23(3{2} + i{2}) = 3{3} + i{3}

5. Étape 5 : La puissance : module élevé à la puissance, argument multiplié :

   z_1^4 = 2^4 e^{i4{3}} = 16\,e^{i4{3}}

6. Étape 6 : 4{3} correspond au troisième quadrant, donc cosinus et sinus y sont tous deux négatifs :

   z_1^4 = 16(-12 - i3{2}) = -8 - 8i3

7. Étape 7 : Contrôle par les modules, qui vaut pour les trois résultats : |z_1z_2| = 6 ✓, |z_1{z_2}| = 23 ✓, et |z_1^4| = 16 — or 64 + 192 = 256 = 16 ✓. Ne jamais repasser en algébrique pour multiplier : Calculer z_1 z_2 en forme algébrique demanderait quatre produits et des racines carrées. En exponentielle, c'est une multiplication et une addition. On reste en exponentielle tant qu'on multiplie, on ne revient à l'algébrique qu'à la fin. Le module est un contrôle gratuit à chaque étape : Il obéit à des règles simples — produit, quotient, puissance — et se recalcule sur la forme algébrique finale. Un désaccord signale une erreur d'angle ou de signe, sans avoir à refaire le calcul.