Forme trigonométrique

Énoncé

Mettre sous forme trigonométrique : a) z_1 = 1 + i b) z_2 = -3 + i c) z_3 = -2

Indice : Calcule le module et détermine un argument en utilisant = a{|z|} et = b{|z|}.

Correction

1. Étape 1 : Passer à la forme trigonométrique, c'est décrire le point par sa distance à l'origine (le module) et par l'angle de la direction (l'argument), au lieu de ses coordonnées. Forme trigonométrique : z = r( + i) = re^{i} avec r = |z|, et = a{r}, = b{r}.
2. Étape 2 : a) z_1 = 1+i. Le module d'abord :

   |z_1| = 1+1 = 2

3. Étape 3 : Puis l'angle, en divisant les deux coordonnées par le module :

   = 1{2} = 1{2} = {4}

4. Étape 4 : D'où :

   z_1 = 2 ({4} + i{4}) = 2\,e^{i/4}

5. Étape 5 : b) z_2 = -3 + i. Le module :

   |z_2| = 3+1 = 2

6. Étape 6 : L'angle demande de la prudence : le cosinus est négatif et le sinus positif, donc le point est dans le deuxième quadrant :

   = -3{2} = 12 = 5{6}

7. Étape 7 : c) z_3 = -2 est un réel négatif : il est sur l'axe des réels, du côté négatif, donc son argument vaut :

   z_3 = 2( + i) = 2\,e^{i}

8. Étape 8 : Le signe du cosinus ne suffit PAS à trouver l'angle : Pour le b), = -3{2} admet DEUX solutions dans ]-\,;\,] : 5{6} et -5{6}. C'est le SINUS qui tranche : positif ici, donc l'angle est positif. Toujours utiliser les deux, jamais un seul. Placer le point avant de calculer : Un croquis rapide dit dans quel quadrant on est, donc l'ordre de grandeur de l'angle. Pour -3 + i : à gauche et en haut, donc entre {2} et . 5{6} = 150° y est bien ; -5{6} ne l'aurait pas été.