Puissances de $i$

Énoncé

Calculer : a) i^{2024} b) i^{15} + i^{16} + i^{17} c) (1 + i)^4

Indice : Utilise la périodicité : i^4 = 1, donc i^{4n+k} = i^k pour k = 0, 1, 2, 3.

Correction

1. Étape 1 : Les puissances de i tournent en boucle de quatre : c'est la seule chose à savoir, et elle rend tous ces calculs immédiats. Le cycle des puissances de i : i^0 = 1 · i^1 = i · i^2 = -1 · i^3 = -i · puis i^4 = 1 et tout recommence. On divise donc l'exposant par 4 et l'on ne garde que le RESTE.
2. Étape 2 : a) 2024 = 4 506, donc le reste est 0 :

   i^{2024} = (i^4)^{506} = 1^{506} = 1

3. Étape 3 : b) On réduit chaque exposant modulo 4 : 15 = 43+3, 16 = 44, 17 = 44+1 :

   i^{15} = i^3 = -i i^{16} = 1 i^{17} = i

4. Étape 4 : La somme, où -i et i se compensent :

   -i + 1 + i = 1

5. Étape 5 : c) On ne développe pas la puissance quatrième d'un coup : on passe par le carré, bien plus simple :

   (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i

6. Étape 6 : Puis on élève au carré une seconde fois :

   (1+i)^4 = [(1+i)^2]^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4

7. Étape 7 : Contrôle par le module. |1+i| = 2, donc |(1+i)^4| = (2)^4 = 4. Et |-4| = 4 ✓. Le module se comporte comme un facteur multiplicatif, ce qui en fait un contrôle gratuit sur toute puissance. Quatre consécutives font toujours zéro : i^{15} + i^{16} + i^{17} + i^{18} = -i + 1 + i - 1 = 0. C'est utile pour les longues sommes : on retire les paquets de quatre, il ne reste que le résidu. Passer par le carré, toujours : (1+i)^2 = 2i est le résultat le plus utile du chapitre — il permet de calculer (1+i)^n pour tout n pair sans jamais développer. Et (1+i)^{100} = (2i)^{50} = 2^{50} i^{50} = -2^{50}, en deux lignes.