Puissances de $i$

Énoncé

Calculer : a) i^{2024} b) i^{15} + i^{16} + i^{17} c) (1 + i)^4

Indice : Utilise la périodicité : i^4 = 1, donc i^{4n+k} = i^k pour k = 0, 1, 2, 3.

Correction

1. Étape 1 : **a)** 2024 = 4 506, donc i^{2024} = (i^4)^{506} = 1^{506} = 1

   i^{2024} = 1

2. Étape 2 : **b)** i^{15} = i^{4 3 + 3} = i^3 = -i, i^{16} = (i^4)^4 = 1, i^{17} = i^{4 4 + 1} = i
3. Étape 3 : Donc i^{15} + i^{16} + i^{17} = -i + 1 + i = 1

   i^{15} + i^{16} + i^{17} = 1

4. Étape 4 : **c)** (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i, donc (1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = -4

   (1 + i)^4 = -4