Résolution d'équation dans $\mathbb{C}$

Énoncé

Résoudre dans C l'équation : (1 + 2i)z = 3 - i.

Indice : Divise les deux membres par (1 + 2i) en multipliant par le conjugué.

Correction

1. Étape 1 : Une équation du premier degré dans C se résout exactement comme dans R : on isole z. La seule différence est qu'il faudra ensuite rendre le quotient présentable.
2. Étape 2 : On isole z, ce qui est licite car 1+2i 0 :

   z = 3-i{1+2i}

3. Étape 3 : On multiplie par le conjugué 1-2i, en haut et en bas :

   z = (3-i)(1-2i){(1+2i)(1-2i)}

4. Étape 4 : Le numérateur :

   (3-i)(1-2i) = 3 - 6i - i + 2i^2 = 3 - 7i - 2 = 1 - 7i

5. Étape 5 : Le dénominateur, qui devient réel :

   (1+2i)(1-2i) = 1 + 4 = 5

6. Étape 6 : D'où la solution :

   z = 1-7i{5} = 1{5} - 7{5}i

7. Étape 7 : Vérification dans l'équation de départ, car trois produits ont été effectués :

   (1+2i)(1{5} - 7{5}i) = 1{5} - 7{5}i + 2{5}i + 14{5} = 15{5} - 5{5}i = 3 - i \

8. Étape 8 : Attention au signe du conjugué du numérateur : On multiplie par le conjugué du DÉNOMINATEUR, ici 1-2i — pas par celui du numérateur. Multiplier par 3+i ne rationaliserait rien et compliquerait l'expression. Un contrôle rapide par les modules : |z| = |3-i|{|1+2i|} = {10}{5} = 2. Et ({1{5})^2 + (7{5})^2} = {50}{5} = 2 ✓. Le module se calcule séparément et confirme le résultat.