Module et conjugué

Énoncé

Soit z = 3 - 4i. a) Calculer |z| et z. b) Calculer zz. c) Calculer 1{z} sous forme algébrique.

Indice : Rappelle-toi que |z| = a^2 + b^2 et que zz = |z|^2.

Correction

1. Étape 1 : Trois notions liées par une seule identité, qui est le cœur de tout ce qui suit : La relation fondamentale : z\,z = |z|^2 Elle explique à la fois pourquoi le conjugué rationalise les quotients, et comment calculer un inverse.
2. Étape 2 : a) Le module est la distance à l'origine, donnée par Pythagore :

   |z| = 3^2 + (-4)^2 = 9+16 = 25 = 5

3. Étape 3 : Le conjugué s'obtient en changeant le signe de la partie imaginaire :

   z = 3 + 4i

4. Étape 4 : b) Le produit, où les termes en i se compensent :

   zz = (3-4i)(3+4i) = 9 + 12i - 12i - 16i^2 = 9 + 16 = 25

5. Étape 5 : On retrouve bien |z|^2 = 5^2 = 25, ce qui vérifie la relation annoncée.
6. Étape 6 : c) L'inverse s'en déduit sans aucun calcul nouveau : on multiplie haut et bas par z, et le dénominateur devient |z|^2 :

   1{z} = {z}{zz} = 3+4i{25} = 3{25} + 4{25}i

7. Étape 7 : Contrôle : |1{z}| doit valoir 1{5}. Or ({3{25})^2 + (4{25})^2} = {9+16}{25} = 5{25} = 1{5} ✓. Un module est un nombre RÉEL POSITIF : Trouver |z| = 3 - 4i ou un module négatif signale une confusion avec le complexe lui-même. Le module mesure une distance : il n'a ni partie imaginaire, ni signe. Le conjugué ne change pas le module : |z| = |z|, car les carrés effacent le signe de la partie imaginaire. Géométriquement, conjuguer est une symétrie par rapport à l'axe des réels — et une symétrie conserve les distances à l'origine.