Calculs avec la forme algébrique

Énoncé

Calculer et mettre sous forme algébrique : a) (2 + 3i) + (1 - 5i) b) (3 - 2i)(1 + 4i) c) 1 + i{2 - i}

Indice : Utilise les règles de calcul sur les nombres complexes. Pour la division, multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Correction

1. Étape 1 : Les trois opérations de base, et une seule règle nouvelle par rapport au calcul littéral : i^2 = -1. Les trois gestes : Somme : on ajoute parties réelles entre elles, parties imaginaires entre elles. Produit : on développe, puis on remplace i^2 par -1. Quotient : on multiplie haut et bas par le CONJUGUÉ du dénominateur.
2. Étape 2 : a) On regroupe :

   (2+3i) + (1-5i) = (2+1) + (3-5)i = 3 - 2i

3. Étape 3 : b) On développe comme un produit de deux binômes :

   (3-2i)(1+4i) = 3 + 12i - 2i - 8i^2

4. Étape 4 : On remplace i^2 par -1, ce qui transforme -8i^2 en +8 :

   = 3 + 10i + 8 = 11 + 10i

5. Étape 5 : c) Le conjugué de 2-i est 2+i. On multiplie en haut ET en bas :

   1+i{2-i} = (1+i)(2+i){(2-i)(2+i)}

6. Étape 6 : Le dénominateur devient réel — c'est tout l'intérêt du procédé :

   (2-i)(2+i) = 4 - i^2 = 4 + 1 = 5

7. Étape 7 : Le numérateur :

   (1+i)(2+i) = 2 + i + 2i + i^2 = 1 + 3i

8. Étape 8 : D'où la forme algébrique, partie réelle et partie imaginaire séparées :

   1+i{2-i} = 1+3i{5} = 1{5} + 3{5}i

9. Étape 9 : -8i^2 vaut +8, pas -8 : Le signe change deux fois : -8 i^2 = -8 (-1) = +8. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle est invisible dans le résultat — 3 + 10i - 8 = -5 + 10i est un complexe parfaitement crédible. Le conjugué rend TOUJOURS le dénominateur réel : (a-ib)(a+ib) = a^2 + b^2, une somme de carrés, donc un réel positif. C'est pourquoi ce procédé marche à tous les coups — et pourquoi il n'y a jamais lieu de « chercher » comment diviser deux complexes.