Problème de synthèse : loi binomiale et prise de décision

Énoncé

Un fabricant affirme que 25\,\% de ses paquets de céréales contiennent un bon de réduction. Une association de consommateurs achète 400 paquets et en trouve 78 avec un bon. a) Si l'affirmation est vraie, quelle est la loi du nombre X de paquets gagnants ? Donner E(X) et (X). b) Déterminer l'intervalle de fluctuation au niveau 95\,\% et conclure. c) À partir de combien de bons trouvés l'association n'aurait-elle pas pu contester l'affirmation ?

Indice : Toutes les notions du chapitre se combinent ici : loi binomiale pour modéliser, intervalle de fluctuation pour décider.

Correction

1. Étape 1 : Un problème complet enchaîne trois gestes : modéliser par une loi, prévoir ce qu'on devrait observer si l'affirmation est vraie, puis comparer à ce qu'on observe vraiment.
2. Étape 2 : a) La modélisation. On prélève 400 paquets, chacun gagnant avec la probabilité 0{,}25 si l'affirmation est vraie, indépendamment des autres :

   X B(400\,;\,0{,}25)

3. Étape 3 : L'espérance et l'écart-type :

   E(X) = 400 0{,}25 = 100 (X) = 400 0{,25 0{,}75} = 75 8{,}66

4. Étape 4 : On attend donc environ 100 bons, avec des écarts typiques de l'ordre de 9.
5. Étape 5 : b) L'intervalle de fluctuation, centré sur la proportion annoncée :

   I = [\,0{,}25 - 1{400}\ ;\ 0{,}25 + 1{400}\,] = [\,0{,}20\ ;\ 0{,}30\,]

6. Étape 6 : La fréquence observée :

   f = 78{400} = 0{,}195

7. Étape 7 : 0{,}195 est inférieur à 0{,}20 : la fréquence tombe hors de l'intervalle de fluctuation. L'association peut donc contester l'affirmation du fabricant, au niveau de confiance 95\,\%.

   0{,}195 [\,0{,}20\ ;\ 0{,}30\,]

8. Étape 8 : Le rapprochement avec l'écart-type confirme. L'écart observé vaut 78 - 100 = -22, soit -22{8{,}66} -2{,}5 écarts-types : c'est effectivement inhabituel.

   78 - 100{8{,}66} -2{,}5

9. Étape 9 : c) Le seuil de non-contestation se lit sur la borne inférieure de l'intervalle :

   k{400} 0{,}20 k 80

10. Étape 10 : Avec 80 bons ou plus, l'association n'aurait rien pu conclure. Il s'en est donc fallu de deux paquets — et c'est ce qu'il faut dire dans la conclusion.

    79 f = 0{,}1975 \ (hors) 80 f = 0{,}200 \ (dans)

11. Étape 11 : Un rejet aussi serré appelle la prudence. Il ne prouve pas que le fabricant ment : il dit que, si l'affirmation était vraie, un tel résultat serait rare — moins de 5\,\% du temps. Un rejet n'est pas une preuve de mensonge : Le niveau de 95\,\% signifie qu'on se trompe une fois sur vingt : un fabricant parfaitement honnête verra son affirmation contestée dans 5\,\% des contrôles. Et ici l'écart est de deux paquets. La conclusion honnête est « ces données sont peu compatibles avec l'annonce », jamais « le fabricant a menti ». Deux instruments qui doivent concorder : L'intervalle de fluctuation dit dedans ou dehors ; l'écart en nombre d'écarts-types dit de combien. Ici -2{,}5 et « juste hors de l'intervalle » racontent la même histoire. S'ils divergeaient, il y aurait une erreur de calcul quelque part.