Comparer la précision de deux sondages

Énoncé

Deux instituts estiment la même proportion : - Institut 1 : n_1 = 400 personnes, fréquence observée f_1 = 0{,}45 - Institut 2 : n_2 = 1\,600 personnes, fréquence observée f_2 = 0{,}45 a) Déterminer les deux intervalles de confiance au niveau 95\,\%. b) Lequel est le plus précis, et dans quel rapport ? c) Le second institut est-il pour autant plus fiable ?

Indice : Les deux fréquences sont identiques : seule la taille de l'échantillon les distingue.

Correction

  1. Étape 1 : Les deux instituts trouvent la MÊME fréquence : leurs intervalles ont donc le même centre, et seule leur largeur diffère. Tout se joue sur n.
  2. Étape 2 : a) Institut 1, avec 1{400} = 0{,}05 :

    I_1 = [\,0{,}40\ ;\ 0{,}50\,] amplitude 0{,}10

  3. Étape 3 : Institut 2, avec 1{1600} = 0{,}025 :

    I_2 = [\,0{,}425\ ;\ 0{,}475\,] amplitude 0{,}05

  4. Étape 4 : b) Le second est deux fois plus précis — son intervalle est deux fois plus court.
  5. Étape 5 : Et le facteur 2 n'est pas un hasard. L'amplitude varie comme 1{ n}, or n_2 = 4\,n_1 :

    A_1{A_2} = {n_2{n_1}} = 4 = 2

  6. Étape 6 : La prévision de la formule et la lecture des deux intervalles coïncident exactement — c'est la vérification qu'il fallait faire.
  7. Étape 7 : c) Non, et c'est le point important. L'amplitude mesure la TAILLE de l'échantillon, jamais sa QUALITÉ. Un institut qui interrogerait 1\,600 personnes toutes recrutées dans le même quartier obtiendrait un intervalle tout aussi étroit, centré au mauvais endroit.
  8. Étape 8 : Ce qui fait la fiabilité est la représentativité de l'échantillon — le mode de recrutement, le taux de non-réponse, la formulation des questions. Rien de tout cela n'apparaît dans la formule. Plus précis n'est pas plus juste : La précision se voit dans la largeur de l'intervalle ; la justesse dépend de la méthode de recueil, et ne se mesure PAS. Un sondage biaisé sur 10\,000 personnes est plus dangereux qu'un sondage honnête sur 500 : il annonce une fausse réponse avec une grande assurance. Le contrôle qui valide les deux calculs d'un coup : Les deux intervalles doivent avoir le même CENTRE (ici 0{,}45), puisque les fréquences observées sont identiques. Un décalage des centres signalerait une erreur de calcul, sans qu'on ait à refaire les demi-largeurs.