Temps d'attente continu : loi exponentielle

Énoncé

La durée de vie X, en années, d'un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre = 0{,}1. a) Calculer E(X) et interpréter. b) Calculer P(X > 10), puis P(X 5). c) Le composant fonctionne depuis 5 ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore 10 ans de plus ? Commenter.

Indice : Pour une loi exponentielle, P(X > t) = e^{- t}. La question c) demande une probabilité conditionnelle — compare-la à P(X > 10).

Correction

1. Étape 1 : Le temps d'attente peut aussi être continu — une durée de vie, un délai. La loi exponentielle en est le modèle, et une seule formule suffit à tout calculer. Loi exponentielle de paramètre λ : P(X > t) = e^{- t} et donc P(X t) = 1 - e^{- t} E(X) = 1{}
2. Étape 2 : a) L'espérance est l'inverse du paramètre :

   E(X) = 1{0{,}1} = 10

3. Étape 3 : La durée de vie moyenne du composant est donc de 10 ans. Ce n'est pas une garantie : certains tomberont en panne au bout d'un an, d'autres dureront trente ans.
4. Étape 4 : b) La probabilité de dépasser 10 ans :

   P(X > 10) = e^{-0{,}1 10} = e^{-1} 0{,}368

5. Étape 5 : Et celle de tomber en panne avant 5 ans, par l'événement contraire :

   P(X 5) = 1 - e^{-0{,}5} 1 - 0{,}607 = 0{,}393

6. Étape 6 : Un résultat qui surprend : seuls 37\,\% des composants dépassent leur durée de vie MOYENNE. C'est propre à cette loi — la moyenne n'est pas la médiane.
7. Étape 7 : c) On demande une probabilité conditionnelle : sachant X > 5, quelle chance que X > 15 ?

   P_{X>5}(X > 15) = P(X > 15){P(X > 5)} = e^{-1{,5}}{e^{-0{,}5}}

8. Étape 8 : On simplifie le quotient d'exponentielles en soustrayant les exposants :

   = e^{-1{,}5 + 0{,}5} = e^{-1} 0{,}368

9. Étape 9 : C'est exactement P(X > 10). Autrement dit : un composant qui a déjà fonctionné 5 ans a la même chance de tenir 10 ans de plus qu'un composant neuf. Il ne vieillit pas.

   P_{X>s}(X > s+t) = P(X > t)

10. Étape 10 : C'est la propriété d'absence de mémoire, et elle caractérise la loi exponentielle. Elle rend le modèle réaliste pour une panne accidentelle (un choc, une surtension) et irréaliste pour de l'usure — une pièce mécanique, elle, vieillit bel et bien. Ne pas confondre P(X > 10) et P_{X>5}(X > 15) : Les deux valent 0{,}368 ici, mais ce n'est PAS une évidence : c'est un théorème, propre à cette loi. Pour une loi d'usure, la seconde serait bien plus petite — c'est tout l'objet de la question c). Une seule formule pour tout le chapitre : P(X > t) = e^{- t}. Tout le reste s'en déduit : P(X t) par le complémentaire, P(a < X b) par différence, et les conditionnelles par quotient. Aucune intégrale n'est nécessaire.