Temps d'attente : loi géométrique

Énoncé

Un joueur tente de réussir une figure ; à chaque essai, sa probabilité de réussite est 0{,}2, indépendamment des essais précédents. On note X le rang du premier essai réussi. a) Calculer P(X = 4). b) Calculer P(X 3), c'est-à-dire la probabilité de réussir en trois essais au plus. c) Calculer E(X) et interpréter.

Indice : Pour que le premier succès arrive au rang k, il faut k-1 échecs PUIS un succès.

Correction

  1. Étape 1 : On ne compte plus les succès sur un nombre d'essais fixé, mais le nombre d'essais jusqu'au premier succès. C'est un temps d'attente, et la loi correspondante s'appelle géométrique. Loi géométrique de paramètre p : P(X = k) = (1-p)^{\,k-1}\,p pour k 1 E(X) = 1{p} La formule se lit directement : k-1 échecs, puis un succès.
  2. Étape 2 : a) Pour que le premier succès soit au 4ᵉ essai, il faut échouer trois fois puis réussir :

    P(X = 4) = (0{,}8)^3 0{,}2

  3. Étape 3 : On calcule :

    P(X = 4) = 0{,}512 0{,}2 = 0{,}1024

  4. Étape 4 : b) « Réussir en trois essais au plus » est le contraire de « échouer les trois premiers », ce qui évite d'additionner trois termes :

    P(X 3) = 1 - P(3 échecs) = 1 - (0{,}8)^3

  5. Étape 5 : D'où :

    P(X 3) = 1 - 0{,}512 = 0{,}488

  6. Étape 6 : Contrôle par la somme directe : 0{,}2 + 0{,}16 + 0{,}128 = 0{,}488 ✓. Les deux voies concordent, mais la première ne demande qu'un seul calcul.
  7. Étape 7 : c) L'espérance est l'inverse de la probabilité de succès :

    E(X) = 1{0{,}2} = 5

  8. Étape 8 : Interprétation : il faut en moyenne 5 essais pour réussir une première fois. C'est cohérent avec le bon sens — une chance sur cinq à chaque coup, donc environ cinq coups. X commence à 1, jamais à 0 : Le premier succès arrive au rang 1 au plus tôt : P(X = 0) n'a aucun sens. C'est ce qui explique l'exposant k-1 dans la formule : au rang 1, il n'y a AUCUN échec avant, donc (1-p)^0 = 1. L'attente n'a pas de mémoire : Si le joueur a déjà échoué dix fois, sa probabilité de réussir au coup suivant reste 0{,}2 — les essais sont indépendants. Croire qu'« il est temps que ça tombe » est exactement l'erreur du joueur. La loi exponentielle du 35013 a la même propriété, en continu.