Déterminer la taille d'échantillon nécessaire

Énoncé

Un institut veut estimer une proportion avec une marge d'erreur d'au plus 1 point de pourcentage, au niveau de confiance 95\,\%. a) Quelle taille d'échantillon faut-il prévoir ? b) Le budget ne permet d'interroger que 2\,500 personnes. Quelle marge d'erreur devra-t-on annoncer ?

Indice : Une marge d'erreur de 1 point signifie une DEMI-largeur de 0,01, donc une amplitude de 0,02.

Correction

  1. Étape 1 : L'exercice inverse le 35009 : on se fixe la précision et l'on cherche n. Une seule difficulté — distinguer la marge d'erreur de l'amplitude. Marge et amplitude : marge d'erreur = 1{ n} (la DEMI-largeur, ce qu'on écrit après le ) amplitude = 2{ n} (la largeur totale)
  2. Étape 2 : a) On traduit la contrainte. « Au plus 1 point » signifie une marge de 0{,}01 :

    1{ n} 0{,}01

  3. Étape 3 : On isole n. L'inégalité change de sens en passant aux inverses, les deux membres étant positifs :

    n 1{0{,}01} = 100

  4. Étape 4 : On élève au carré, ce qui est licite puisque les deux membres sont positifs :

    n 100^2 = 10\,000

  5. Étape 5 : Il faut donc interroger au moins 10\,000 personnes — ce qui est considérable, et explique pourquoi presque aucun sondage n'annonce une précision d'un point.
  6. Étape 6 : b) Avec 2\,500 personnes, on calcule la marge dans l'autre sens :

    1{2500} = 1{50} = 0{,}02

  7. Étape 7 : La marge sera donc de 2 points, soit un intervalle du type [f - 0{,}02\,;\,f + 0{,}02]. Diviser le budget par quatre a doublé la marge — ce qui est exactement la loi en 1{ n}.
  8. Étape 8 : Contrôle croisé des deux réponses : 10\,000 = 4 2\,500, et la marge passe de 0{,}02 à 0{,}01, soit une division par 2. Cohérent avec 4 = 2 ✓. Le sens de l'inégalité s'inverse deux fois : D'abord en passant à l'inverse (1{ n} 0{,}01 devient n 100), puis plus du tout à l'élévation au carré. Un résultat du type « n 10\,000 » signale une erreur : on cherche un échantillon assez GRAND, donc un . Un repère qui dispense de calculer : La marge en points de pourcentage vaut environ 100{ n}. n = 100 ⟹ 10 points · n = 1\,000 ⟹ 3 points · n = 10\,000 ⟹ 1 point. Trois repères, et l'on juge n'importe quel sondage de tête.