Décider à partir d'un intervalle de confiance

Énoncé

Un candidat affirme qu'il obtiendra 50\,\% des voix. Un sondage sur n = 1\,000 personnes lui en accorde 530. a) Déterminer l'intervalle de confiance au niveau 95\,\%. b) Peut-on affirmer, au vu de ce sondage, qu'il dépassera 50\,\% ? c) Même question si le sondage lui accordait 560 voix sur 1\,000.

Indice : Une valeur est « exclue » par le sondage si elle ne figure pas dans l'intervalle de confiance. Regarde où tombe 0,5.

Correction

1. Étape 1 : Un intervalle de confiance sert à décider : il rassemble les valeurs de p que les données ne permettent pas d'exclure. Tout se joue donc sur une seule question — la valeur annoncée est-elle dedans ou dehors ?
2. Étape 2 : a) La fréquence observée :

   f = 530{1000} = 0{,}53

3. Étape 3 : La demi-largeur :

   1{1000} 0{,}0316

4. Étape 4 : D'où l'intervalle :

   [\,0{,}53 - 0{,}032\ ;\ 0{,}53 + 0{,}032\,] [\,0{,}498\ ;\ 0{,}562\,]

5. Étape 5 : b) On regarde où tombe 0{,}5, et la réponse est serrée :

   0{,}498 < 0{,}5 < 0{,}562

6. Étape 6 : 0{,}5 est dans l'intervalle — de très peu, mais dedans. On ne peut donc pas affirmer qu'il dépassera 50\,\% : un score d'exactement 50\,\% reste compatible avec ce sondage.
7. Étape 7 : c) Avec 560 voix, la fréquence monte à 0{,}56 et l'intervalle se déplace :

   [\,0{,}56 - 0{,}032\ ;\ 0{,}56 + 0{,}032\,] [\,0{,}528\ ;\ 0{,}592\,]

8. Étape 8 : Cette fois 0{,}5 est hors de l'intervalle : on peut affirmer, avec un niveau de confiance de 95\,\%, que le candidat dépassera 50\,\%.

   0{,}5 [\,0{,}528\ ;\ 0{,}592\,]

9. Étape 9 : Trois points d'écart changent tout, et c'est précisément ce que mesure un sondage : 53\,\% ne permet aucune conclusion, 56\,\% oui — pour une marge d'erreur identique de 3{,}2 points. Une majorité dans le sondage n'est pas une majorité dans la population : 53\,\% des sondés, c'est un fait sur l'échantillon. Ce n'est PAS une prédiction sur le vote. Tant que 0{,}5 est dans l'intervalle, les deux issues restent possibles — et c'est exactement ce que les commentaires électoraux oublient de dire. Le cas limite se signale, il ne se tranche pas : Ici 0{,}498 contre 0{,}5 : deux millièmes d'écart. Dans une telle situation, la bonne réponse n'est pas « oui de justesse » mais « on ne peut pas conclure, il faudrait un échantillon plus grand ».