Amplitude d'un intervalle de confiance

Énoncé

Un institut réalise un sondage sur un échantillon de n = 400 personnes. a) Quelle est l'amplitude de l'intervalle de confiance au niveau 95\,\% ? b) L'institut double la taille de l'échantillon. Par quel facteur l'amplitude est-elle multipliée ? c) Que faudrait-il faire pour diviser l'amplitude par 2 ?

Indice : L'amplitude vaut 2{ n} : elle ne dépend PAS de la fréquence observée, seulement de la taille de l'échantillon.

Correction

1. Étape 1 : L'amplitude de l'intervalle de confiance ne dépend que de n — pas de la fréquence observée, pas du sujet du sondage. C'est ce qui rend la question calculable sans aucune donnée. Amplitude : amplitude = 2 1{ n} = 2{ n}
2. Étape 2 : a) Pour n = 400 :

   2{400} = 2{20} = 0{,}10

3. Étape 3 : Soit 10 points de pourcentage — un intervalle du type [0{,}40\,;\,0{,}50].
4. Étape 4 : b) On remplace n par 2n. Seul n change, et 2n = 2 n :

   2{2n} = 1{ 2} 2{ n}

5. Étape 5 : L'amplitude est donc multipliée par 1{2} 0{,}71 : elle passe de 0{,}100 à 0{,}071.

   2{800} 0{,}0707

6. Étape 6 : c) Pour diviser par 2, il faut n' = 2 n, donc :

   n' = 4n = 1\,600

7. Étape 7 : Vérification : 2{1600} = 2{40} = 0{,}05, soit exactement la moitié de 0{,}10 ✓.
8. Étape 8 : Le coût de la précision est donc quadratique : doubler l'échantillon ne gagne que 30\,\% de précision, et chaque point gagné coûte quatre fois le précédent. Doubler n ne divise PAS l'amplitude par 2 : Elle est divisée par 2 1{,}41, pas par 2. C'est parce que n vit sous une RACINE : un facteur k sur n donne un facteur 1{ k} sur l'amplitude. Pourquoi les sondages s'arrêtent vers 1 000 personnes : n = 1\,000 donne environ 3 points. Descendre à 1{,}5 point demanderait 4\,000 personnes, et à 0{,}75 point, 16\,000. Le coût explose bien plus vite que le gain — c'est une contrainte mathématique, pas un choix d'économie.