Formule de Bayes : remonter la cause

Énoncé

On reprend l'usine de l'exercice précédent : la machine A fabrique 60\,\% de la production avec 2\,\% de défauts, la machine B les 40\,\% restants avec 5\,\% de défauts. On prélève une pièce et l'on constate qu'elle est défectueuse. a) Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la machine A ? b) Commenter : la machine A produit la majorité des pièces. Est-elle pour autant responsable de la majorité des défauts ?

Indice : On connaît P_A(D) et l'on cherche P_D(A) : c'est la probabilité inverse. Elle se calcule à partir de P(A D) et de P(D), tous deux déjà obtenus.

Correction

1. Étape 1 : L'exercice précédent descendait l'arbre : connaissant la machine, quelle chance d'avoir un défaut. Ici on le remonte : constatant un défaut, d'où vient-il ? Probabilité conditionnelle inverse : P_D(A) = P(A D){P(D)} Les deux quantités du haut et du bas ont déjà été calculées au 35007 — il n'y a rien de nouveau à trouver, seulement à diviser.
2. Étape 2 : a) Le numérateur est la probabilité du chemin « machine A et défectueuse » :

   P(A D) = 0{,}6 0{,}02 = 0{,}012

3. Étape 3 : Le dénominateur est la probabilité totale d'un défaut, tous chemins confondus :

   P(D) = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032

4. Étape 4 : On divise :

   P_D(A) = 0{,012}{0{,}032} = 12{32} = 3{8} = 0{,}375

5. Étape 5 : Une pièce défectueuse a donc 37{,}5\,\% de chances de venir de la machine A — et donc 62{,}5\,\% de venir de B.

   P_D(B) = 0{,020}{0{,}032} = 5{8} = 0{,}625

6. Étape 6 : b) Non, et c'est tout l'intérêt de l'exercice. La machine A produit 60\,\% des pièces mais seulement 37{,}5\,\% des défauts ; la machine B, minoritaire, en produit 62{,}5\,\%. La raison est que son taux de défaut est deux fois et demie plus élevé : 5\,\% contre 2\,\%. C'est elle qu'il faut régler en priorité.
7. Étape 7 : Contrôle : les deux probabilités inverses doivent sommer à 1, puisque la pièce vient forcément de l'une des deux machines.

   3{8} + 5{8} = 1 \

8. Étape 8 : P_A(D) et P_D(A) n'ont rien à voir : P_A(D) = 0{,}02 : parmi les pièces de A, 2\,\% sont défectueuses. P_D(A) = 0{,}375 : parmi les pièces défectueuses, 37{,}5\,\% viennent de A. Les confondre est l'erreur la plus répandue de tout le calcul des probabilités — et elle a des conséquences réelles, notamment en médecine où l'on confond « le test est positif chez les malades » avec « le patient est malade sachant que le test est positif ». La proportion produite ne dit rien de la responsabilité : Ce qui compte est le PRODUIT « part de production × taux de défaut ». Ici 0{,}6 0{,}02 = 0{,}012 contre 0{,}4 0{,}05 = 0{,}020 : la machine minoritaire l'emporte largement. Un contrôle qualité qui ne regarderait que les volumes viserait la mauvaise machine.