Arbre pondéré et probabilités totales

Énoncé

Une usine produit des pièces sur deux machines. La machine A fabrique 60\,\% de la production, et 2\,\% de ses pièces sont défectueuses. La machine B fabrique les 40\,\% restants, avec 5\,\% de pièces défectueuses. On prélève une pièce au hasard dans la production totale. a) Représenter la situation par un arbre pondéré. b) Calculer la probabilité que la pièce prélevée soit défectueuse.

Indice : Chaque chemin de l'arbre se calcule en multipliant les probabilités rencontrées ; on additionne ensuite tous les chemins qui mènent à l'événement cherché.

Correction

  1. Étape 1 : Deux origines possibles, deux taux de défaut différents : la situation se lit sur un arbre, et le calcul suit deux règles simples. Les deux règles de l'arbre : Le long d'un chemin, on multiplie les probabilités. Entre plusieurs chemins menant au même événement, on additionne.
  2. Étape 2 : a) L'arbre a deux niveaux. Premier niveau : la machine d'origine. Second niveau : la pièce est défectueuse (D) ou non. Les probabilités du second niveau sont conditionnelles : P_A(D) = 0{,}02 se lit « sachant que la pièce vient de A, elle est défectueuse avec la probabilité 0{,}02 ».
  3. Étape 3 : Le chemin par la machine A — on multiplie le long du chemin :

    P(A D) = P(A) P_A(D) = 0{,}6 0{,}02 = 0{,}012

  4. Étape 4 : Le chemin par la machine B :

    P(B D) = 0{,}4 0{,}05 = 0{,}020

  5. Étape 5 : b) On additionne les deux chemins, car ce sont les deux seules façons d'obtenir une pièce défectueuse :

    P(D) = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032

  6. Étape 6 : Soit 3{,}2\,\% de pièces défectueuses dans la production totale.
  7. Étape 7 : Contrôle par encadrement. Le taux global doit être compris entre les deux taux individuels, 2\,\% et 5\,\% — c'est une moyenne pondérée. Et il doit pencher vers 2\,\%, puisque la machine A produit davantage. On trouve 3{,}2\,\% : cohérent. Le taux global n'est pas la moyenne des deux taux : 2 + 5{2} = 3{,}5\,\%, et la réponse est 3{,}2\,\%. La moyenne simple ignore que les deux machines ne produisent pas autant : il faut pondérer par 0{,}6 et 0{,}4. C'est exactement ce que fait la formule des probabilités totales. Vérifier que les branches somment à 1 : À chaque nœud de l'arbre : 0{,}6 + 0{,}4 = 1 ✓, 0{,}02 + 0{,}98 = 1 ✓, 0{,}05 + 0{,}95 = 1 ✓. Un nœud dont les branches ne somment pas à 1 signale une erreur de lecture de l'énoncé — et le contrôle est immédiat.