Intervalle de fluctuation et prise de décision

Énoncé

On soupçonne un dé d'être truqué en faveur du 6. On le lance 400 fois et l'on obtient 90 fois le 6. a) Sous l'hypothèse que le dé est équilibré, déterminer l'intervalle de fluctuation au niveau 95\,\% de la fréquence de 6. b) Que peut-on conclure ? c) Quelle aurait été la conclusion avec 70 apparitions du 6 ?

Indice : L'intervalle de fluctuation est centré sur la proportion THÉORIQUE p, pas sur la fréquence observée — c'est ce qui le distingue de l'intervalle de confiance.

Correction

1. Étape 1 : Deux intervalles se ressemblent et ne répondent pas à la même question. Les confondre est l'erreur centrale du chapitre. Fluctuation ou confiance ? : Fluctuation : on CONNAÎT p et l'on prévoit où tombera f. [\,p - 1{ n}\ ;\ p + 1{ n}\,] Confiance : on observe f et l'on encadre p, qu'on ignore (exercice 35003).
2. Étape 2 : a) L'hypothèse fixe p. Un dé équilibré donne le 6 une fois sur six :

   p = 1{6} 0{,}1667

3. Étape 3 : La demi-largeur ne dépend que de n :

   1{400} = 1{20} = 0{,}05

4. Étape 4 : D'où l'intervalle de fluctuation :

   I = [\,0{,}1667 - 0{,}05\ ;\ 0{,}1667 + 0{,}05\,] [\,0{,}117\ ;\ 0{,}217\,]

5. Étape 5 : b) On compare la fréquence observée :

   f = 90{400} = 0{,}225

6. Étape 6 : 0{,}225 est au-dessus de 0{,}217 : la fréquence observée tombe hors de l'intervalle de fluctuation. On rejette donc l'hypothèse « le dé est équilibré », au niveau de confiance 95\,\% — le dé est suspect.

   0{,}225 [\,0{,}117\ ;\ 0{,}217\,]

7. Étape 7 : c) Avec 70 apparitions, la conclusion s'inverse :

   f = 70{400} = 0{,}175 [\,0{,}117\ ;\ 0{,}217\,]

8. Étape 8 : On ne rejette pas l'hypothèse : 70 six sur 400 lancers est un écart parfaitement banal pour un dé honnête, alors que l'espérance vaut 400 16 67.
9. Étape 9 : Ne pas rejeter n'est pas prouver. Dans le cas c), on n'a PAS démontré que le dé est équilibré : on a seulement constaté que ces 400 lancers ne permettent pas d'affirmer le contraire. L'intervalle de fluctuation est centré sur p, pas sur f : Ici il est centré sur 0{,}1667, la valeur THÉORIQUE — pas sur 0{,}225. Centrer sur la fréquence observée donnerait [0{,}175\,;\,0{,}275], qui contient forcément f : le test ne pourrait plus rien rejeter. C'est la différence de fond avec l'intervalle de confiance. Un seul lancer de plus peut renverser la conclusion : Avec 87 six, f = 0{,}2175 : à peine dedans. Avec 88, f = 0{,}22 : dehors. Un cas limite doit être signalé comme tel, jamais tranché avec assurance — et il appelle un échantillon plus grand.