Loi binomiale : passer par l'événement contraire

Énoncé

Un joueur a une probabilité 0{,}3 de gagner à chaque partie, indépendamment des autres. Il joue 10 parties et l'on note X le nombre de parties gagnées. a) Calculer P(X = 0). b) En déduire la probabilité qu'il gagne au moins une partie. c) Combien de parties doit-il jouer pour que cette probabilité dépasse 0{,}99 ?

Indice : « Au moins une » est le contraire de « aucune » — et « aucune » ne demande qu'un seul calcul.

Correction

  1. Étape 1 : « Au moins un succès » recouvre dix cas (X = 1, X = 2, …). Les additionner serait absurde : l'événement contraire n'en compte qu'un seul. Le réflexe de l'événement contraire : P(X 1) = 1 - P(X = 0) Ce raccourci vaut chaque fois que l'énoncé dit « au moins un ».
  2. Étape 2 : a) X suit B(10\,;\,0{,}3). Pour k = 0, le coefficient binomial vaut 1 et p^0 = 1 : il ne reste que les échecs.

    P(X = 0) = 10{0}(0{,}3)^0(0{,}7)^{10} = (0{,}7)^{10}

  3. Étape 3 : On calcule :

    P(X = 0) = 0{,}7^{10} 0{,}0282

  4. Étape 4 : b) On passe au contraire :

    P(X 1) = 1 - 0{,}0282 0{,}9718

  5. Étape 5 : Le joueur a donc plus de 97\,\% de chances de gagner au moins une fois sur dix parties.
  6. Étape 6 : c) On cherche n tel que 1 - 0{,}7^{\,n} > 0{,}99, ce qui revient à :

    0{,}7^{\,n} < 0{,}01

  7. Étape 7 : On teste des valeurs, la suite 0{,}7^{\,n} étant décroissante :

    0{,}7^{12} 0{,}0138 0{,}7^{13} 0{,}0097 < 0{,}01

  8. Étape 8 : Il faut donc 13 parties au minimum.

    n 13

  9. Étape 9 : Contrôle : pour n = 13, P(X 1) 1 - 0{,}0097 = 0{,}9903 > 0{,}99 ✓, alors que pour n = 12 on n'a que 0{,}9862. Ne pas confondre « au moins un » et « exactement un » : « Au moins une partie gagnée » vaut 0{,}9718 ; « exactement une » vaut 10{1}(0{,}3)(0{,}7)^9 0{,}1211. Le premier passe par le contraire, le second par la formule directe — ce sont deux calculs différents. Reconnaître le mot déclencheur : « au moins un » ⟹ passer par 1 - P(X=0). « au plus un » ⟹ P(X=0) + P(X=1), deux termes seulement. Ces deux réflexes évitent presque toutes les longues sommes du chapitre.