Estimation ponctuelle et précision

Énoncé

Dans un échantillon de n = 500 personnes, 325 possèdent un smartphone. a) Donner une estimation ponctuelle de la proportion p dans la population. b) Cette estimation suffit-elle à décrire la précision du sondage ? Justifier en donnant l'intervalle de confiance au niveau 95\,\%.

Indice : Une estimation ponctuelle est un seul nombre. Demande-toi ce qu'elle ne dit pas.

Correction

  1. Étape 1 : Ponctuelle veut dire « un seul nombre », par opposition à l'intervalle de confiance qui en donne deux. Les deux répondent à des questions différentes : l'un dit *combien*, l'autre dit *avec quelle précision*.
  2. Étape 2 : a) La meilleure estimation d'une proportion inconnue est la fréquence observée :

    p = f = 325{500} = 0{,}65 = 65\,\%

  3. Étape 3 : Le chapeau sur p n'est pas décoratif : il rappelle que ce nombre est calculé sur un ÉCHANTILLON, et qu'il n'est donc pas la vraie proportion p de la population.
  4. Étape 4 : b) Non, elle ne suffit pas — et la raison est qu'elle ne fait pas apparaître n. 0{,}65 sur 500 personnes et 0{,}65 sur 20 personnes donnent le MÊME p, alors que la seconde ne vaut presque rien.
  5. Étape 5 : L'intervalle de confiance, lui, contient n :

    1{500} 0{,}0447

  6. Étape 6 : D'où l'intervalle, arrondi au centième :

    [\,0{,}65 - 0{,}045\ ;\ 0{,}65 + 0{,}045\,] [\,0{,}61\ ;\ 0{,}69\,]

  7. Étape 7 : Lecture complète : la proportion de possesseurs de smartphone est comprise entre 61\,\% et 69\,\%, avec un niveau de confiance de 95\,\%. C'est cette phrase qui répond vraiment à la question posée. Une estimation ponctuelle ne dit RIEN de sa précision : Un sondage sur 20 personnes annonçant 65\,\% a une marge de 1{20} 22 points : la vraie proportion pourrait être 43\,\% ou 87\,\%. Donner p sans n est donc une information incomplète — et c'est pourtant ce que font la plupart des chiffres qu'on lit dans la presse. Trois marges à connaître de tête : n = 100 ⟹ 10 points · n = 1\,000 ⟹ 3 points · n = 10\,000 ⟹ 1 point. Elles permettent de juger n'importe quel sondage en une seconde, à partir de sa seule taille.