Intervalle de confiance pour une proportion

Énoncé

Dans un échantillon de n = 400 personnes, on observe 180 personnes favorables à une mesure. a) Calculer la fréquence observée f. b) Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 95\,\% pour la proportion p dans la population. c) Peut-on affirmer que la mesure est minoritaire dans la population ?

Indice : L'intervalle de confiance au niveau 0,95 s'écrit [f - 1{n}\,;\,f + 1{n}].

Correction

1. Étape 1 : On observe une fréquence sur un échantillon et l'on veut en déduire une proportion dans TOUTE la population. Le passage n'est jamais exact : on donne donc un intervalle, jamais un nombre seul. Intervalle de confiance au niveau 0,95 : [\,f - 1{n}\ ;\ f + 1{n}\,] La demi-largeur ne dépend QUE de n : plus l'échantillon est grand, plus l'intervalle est étroit.
2. Étape 2 : a) La fréquence observée, qui est le centre de l'intervalle :

   f = 180{400} = 0{,}45

3. Étape 3 : b) La demi-largeur, qui ne dépend que de la taille de l'échantillon :

   1{400} = 1{20} = 0{,}05

4. Étape 4 : D'où l'intervalle :

   [\,0{,}45 - 0{,}05\ ;\ 0{,}45 + 0{,}05\,] = [\,0{,}40\ ;\ 0{,}50\,]

5. Étape 5 : c) La question demande si p < 0{,}5. Or 0{,}5 est une borne de l'intervalle : on ne peut donc PAS exclure que la proportion atteigne exactement 50\,\%.

   0{,}5 [\,0{,}40\ ;\ 0{,}50\,]

6. Étape 6 : La réponse est donc non : l'échantillon ne permet pas d'affirmer que la mesure est minoritaire. Il faudrait un échantillon plus grand — avec n = 2\,500, la demi-largeur tomberait à 0{,}02 et l'intervalle deviendrait [0{,}43\,;\,0{,}47], entièrement sous 0{,}5.
7. Étape 7 : Contrôle : la fréquence f doit être au MILIEU de l'intervalle. Ici 0{,40 + 0{,}50}{2} = 0{,}45 ✓. Ce que « 95 % de confiance » ne veut PAS dire : Ce n'est pas « il y a 95\,\% de chances que p soit dans cet intervalle » : p est un nombre fixe, il y est ou il n'y est pas. C'est la MÉTHODE qui réussit 95 fois sur 100 : en refaisant 100 sondages, environ 95 des intervalles obtenus contiendraient la vraie proportion. Une conclusion ne se lit que si la valeur est HORS de l'intervalle : Tant que 0{,}5 est dedans, on ne peut rien affirmer. C'est le principe de toute décision statistique : on conclut sur ce que l'intervalle EXCLUT, jamais sur ce qu'il contient.