Espérance d'une loi binomiale

Énoncé

Une usine produit des pièces dont 4\,\% sont défectueuses. On prélève au hasard un lot de 200 pièces, et l'on note X le nombre de pièces défectueuses du lot. a) Quelle est la loi de X ? b) Calculer E(X) et interpréter le résultat. c) Le lot est refusé s'il contient au moins 15 pièces défectueuses. Ce seuil vous paraît-il sévère ?

Indice : L'espérance d'une loi binomiale se calcule sans aucune somme : c'est simplement np.

Correction

1. Étape 1 : L'espérance d'une loi binomiale ne demande aucun calcul de somme — elle se lit sur les paramètres. Espérance et écart-type : Si X B(n\,;\,p) : E(X) = np et (X) = n\,p\,(1-p) L'espérance se comprend d'elle-même : sur n essais qui réussissent une fois sur 1{p}, on attend np succès.
2. Étape 2 : a) On prélève 200 pièces, chacune défectueuse avec la probabilité 0{,}04, indépendamment des autres (le lot est petit devant la production totale) :

   X B(200\,;\,0{,}04)

3. Étape 3 : b) L'espérance :

   E(X) = 200 0{,}04 = 8

4. Étape 4 : Interprétation. Sur un grand nombre de lots de 200 pièces, on trouvera en moyenne 8 pièces défectueuses par lot. Ce n'est pas une prédiction pour un lot donné : celui-ci peut en contenir 3 ou 14.
5. Étape 5 : c) Pour juger du seuil, il faut savoir de combien X s'écarte typiquement de 8. C'est l'écart-type :

   (X) = 200 0{,04 0{,}96} = 7{,68} 2{,}77

6. Étape 6 : Le seuil de 15 est donc à 15 - 8{2{,}77} 2{,}5 écarts-types au-dessus de la moyenne. C'est rare mais pas exceptionnel : le seuil n'est pas absurde, il refusera occasionnellement des lots parfaitement conformes.

   15 - 8{2{,}77} 2{,}5

7. Étape 7 : Contrôle de l'ordre de grandeur. 4\,\% de 200, c'est 8 — on peut le faire de tête, et cela vérifie le calcul de l'espérance sans formule. E(X) n'est pas la valeur la plus probable, ni une garantie : E(X) = 8 ne veut pas dire qu'un lot contiendra 8 défectueuses. Et l'espérance peut même ne pas être un entier : pour B(10\,;\,13), E(X) = 10{3} 3{,}33, alors que X ne prend que des valeurs entières. L'écart-type donne l'échelle des écarts NORMAUX : Un écart de plus de 2 est inhabituel, de plus de 3 franchement rare. C'est ce qui permet de juger un seuil, une anomalie ou un résultat surprenant — sans aucun test statistique.