Reconnaître une loi binomiale et calculer une probabilité

Énoncé

On lance 10 fois un dé équilibré. On s'intéresse au nombre X de fois où l'on obtient un 5 ou un 6. a) Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres. b) Calculer P(X = 3), arrondi à 10^{-4}.

Indice : Vérifie les trois conditions d'une loi binomiale : même expérience répétée, deux issues, indépendance. La probabilité de « 5 ou 6 » se calcule sur un lancer.

Correction

1. Étape 1 : Avant tout calcul, il faut justifier que la loi est binomiale — trois conditions, et il faut les trois. Loi binomiale : On répète n fois la MÊME épreuve, de façon INDÉPENDANTE, et chaque épreuve n'a que deux issues : succès (probabilité p) ou échec. Alors le nombre de succès X suit B(n\,;\,p), et P(X = k) = n{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k}.
2. Étape 2 : a) On vérifie les trois conditions. L'expérience « lancer un dé » est répétée 10 fois ; les lancers sont indépendants (un dé n'a pas de mémoire) ; et l'on ne retient que deux issues, « obtenir 5 ou 6 » ou non.
3. Étape 3 : La probabilité de succès se calcule sur UN lancer : deux faces favorables sur six.

   p = 2{6} = 1{3}

4. Étape 4 : Donc X suit la loi binomiale de paramètres :

   X B\!(10\,;\,1{3})

5. Étape 5 : b) On applique la formule avec k = 3. Le coefficient binomial se lit à la calculatrice ou dans le triangle de Pascal :

   P(X = 3) = 10{3}(1{3})^{3}(2{3})^{7}

6. Étape 6 : On calcule chaque facteur :

   10{3} = 120 (13)^3 0{,}0370 (23)^7 0{,}0585

7. Étape 7 : D'où le résultat, arrondi au dix-millième :

   P(X = 3) 120 0{,}0370 0{,}0585 0{,}2601

8. Étape 8 : Contrôle par le bon sens. On attend en moyenne 10 13 3{,}3 succès (c'est l'espérance, exercice 35002). Obtenir exactement 3 est donc le cas le plus probable ou presque — une probabilité d'environ 26\,\% est cohérente. Les trois exposants doivent totaliser n : Dans 10{3}p^3(1-p)^7, on a 3 + 7 = 10 : trois succès et sept échecs. Écrire (1-p)^{10} ou (1-p)^{3} est l'erreur la plus fréquente — et elle se repère immédiatement en additionnant les exposants. Justifier la loi AVANT de calculer : Un calcul juste sur une loi mal identifiée ne vaut rien, et la justification rapporte des points au bac. Les trois mots à écrire : répétition, indépendance, deux issues.