Limite avec logarithme

Énoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n) définie par u_n = (n){n}.

Indice : Utilise le fait que le logarithme croît plus lentement que toute puissance de n.

Correction

1. Étape 1 : La croissance comparée du logarithme, symétrique de celle de l'exponentielle. Croissance comparée, logarithme : [formule] 👉 En une phrase : n l'emporte sur (n). Le logarithme croît, mais si lentement qu'il est écrasé par n. ℹ️ Et l'on peut relier les deux théorèmes du chapitre : en posant n = e^t, le quotient n{n} devient t{e^t} — qui tend vers 0 par la croissance comparée de l'exponentielle. Les deux résultats n'en font qu'un, vu depuis deux fonctions réciproques.
2. Étape 2 : u_n = (n){n}. (n) + et n + : [formule] On applique le théorème de croissance comparée : [formule]

   _{n +} (n){n} = 0

3. Étape 3 : ℹ️ La lenteur du logarithme, en chiffres : | n | (n) | u_n | |:---|---:|---:| | 10 | 2{,}3 | 0{,}230 | | 100 | 4{,}6 | 0{,}046 | | 10^6 | 13{,}8 | 0{,}0000138 | | 10^{12} | 27{,}6 | 2{,}8 10^{-11} | 👉 Multiplier n par un million n'ajoute que 13,8 à (n). C'est ce qui rend le logarithme si utile en informatique : un algorithme en (n) traite un milliard d'éléments à peine plus lentement qu'un millier. Et c'est pourquoi le quotient s'écrase : le dénominateur est multiplié par un million pendant que le numérateur gagne 14.

   (10^6) 13{,}8 ; (10^{12}) 27{,}6

4. Étape 4 : L'erreur classique : Conclure que la limite est 1 ou + parce que « les deux tendent vers l'infini ». C'est traiter une forme indéterminée comme si elle ne l'était pas. Les deux termes explosent, et c'est précisément ce qui rend la limite indéterminée — il faut un théorème pour trancher lequel l'emporte. 👉 Et ici c'est n qui gagne, largement : le tableau le montre. À retenir : n{n} 0 — n l'emporte sur (n). 👉 Et c'est le même résultat que t{e^t} 0, vu depuis la fonction réciproque : une seule croissance comparée, deux écritures.