Suite alternée sans limite

Énoncé

Montrer que la suite (u_n) définie par u_n = (-1)^n n'a pas de limite.

Indice : Montre que la suite prend alternativement les valeurs -1 et 1, donc elle ne peut pas converger vers un nombre réel.

Correction

1. Étape 1 : Montrer qu'une suite n'a pas de limite est un exercice d'un genre différent : on ne calcule rien, on raisonne par l'absurde. Le raisonnement par l'absurde : 1. supposer que la suite converge vers un réel L ; 2. en déduire une conséquence nécessaire ; 3. montrer que cette conséquence est fausse ; 4. conclure que l'hypothèse de départ était impossible. 👉 La conséquence à choisir ici repose sur un fait simple : si (u_n) converge vers L, alors la suite décalée (u_{n+1}) converge aussi vers L — c'est la même suite, à laquelle on a seulement enlevé le premier terme. Par différence de deux suites de même limite, l'écart u_{n+1} - u_n devrait donc tendre vers L - L = 0.
2. Étape 2 : Le comportement de la suite. u_n = (-1)^n prend deux valeurs seulement : n pair u_n = 1 · n impair u_n = -1 La suite vaut donc 1, -1, 1, -1, 1, : elle saute indéfiniment entre deux valeurs, sans jamais se rapprocher de rien. 👉 C'est visuellement clair — reste à le démontrer.

   u_n = 1 \ (n pair) \ ; u_n = -1 \ (n impair)

3. Étape 3 : L'écart entre deux termes consécutifs. On le calcule : u_{n+1} - u_n = (-1)^{n+1} - (-1)^n On factorise par (-1)^n, en notant que (-1)^{n+1} = (-1)^n (-1) : = (-1)^n (-1) - (-1)^n = (-1)^n(-1-1) = -2\,(-1)^n Donc pour tout n : [formule] 👉 L'écart ne diminue jamais : deux termes consécutifs sont toujours à distance 2 l'un de l'autre, quel que soit le rang. On peut le vérifier directement : 1 - (-1) = 2 et -1 - 1 = -2.

   |u_{n+1} - u_n| = 2 pour tout n

4. Étape 4 : La contradiction. Supposons que (u_n) converge vers un réel L. Alors (u_{n+1}) converge aussi vers L — c'est la même suite, décalée d'un rang, et un décalage ne change pas une limite. Par différence de deux suites convergentes (opérations sur les limites) : [formule] Or on vient de montrer que |u_{n+1}-u_n| = 2 pour tout n. Une suite constamment égale à 2 ne peut pas tendre vers 0. [formule] L'hypothèse « (u_n) converge » est donc impossible : [formule]

   0 = (u_{n+1}-u_n) et |u_{n+1}-u_n| = 2

5. Étape 5 : 👉 Ce raisonnement est général, et c'est ce qui en fait la valeur : *toute suite dont les termes consécutifs restent à distance fixe non nulle diverge*. On peut l'appliquer à (-1)^n, à 3(-1)^n, à \!(n{2})… ℹ️ Attention à ne pas confondre deux notions : | | (-1)^n | |:---|:---| | bornée | ✅ oui, par 1 | | convergente | ❌ non | Une suite bornée peut parfaitement ne pas converger — c'est exactement ce contre-exemple qui le prouve. En revanche, la réciproque est vraie : toute suite convergente est bornée. L'erreur classique : Dire « la suite oscille, donc elle n'a pas de limite ». L'observation est juste, mais ce n'est pas une démonstration : (-1)^n{n} oscille aussi, et pourtant elle converge vers 0. Ce qui compte n'est pas l'oscillation, c'est que son amplitude ne diminue pas. 👉 C'est précisément ce que l'argument par l'écart mesure. À retenir : Pour montrer qu'une suite ne converge pas : supposer qu'elle converge, et exhiber une contradiction. 👉 L'outil le plus simple est l'écart entre termes consécutifs : il devrait tendre vers 0, et il suffit de montrer qu'il n'en fait rien.