Suite alternée sans limite

Énoncé

Montrer que la suite (u_n) définie par u_n = (-1)^n n'a pas de limite.

Indice : Montre que la suite prend alternativement les valeurs -1 et 1, donc elle ne peut pas converger vers un nombre réel.

Correction

1. Étape 1 : Pour n pair, u_n = (-1)^n = 1. Pour n impair, u_n = (-1)^n = -1.
2. Étape 2 : Supposons que (u_n) converge vers un réel L. Alors pour = 1{2}, il existe N tel que pour n N, on a |u_n - L| < 1{2}.
3. Étape 3 : Pour n pair N : |1 - L| < 1{2}, donc L ]1{2}, 3{2}[.
4. Étape 4 : Pour n impair N : |-1 - L| < 1{2}, donc L ]-3{2}, -1{2}[.
5. Étape 5 : Ces deux intervalles sont disjoints, ce qui est contradictoire. Donc (u_n) n'a pas de limite.