Limite avec exponentielle

Énoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n) définie par u_n = e^n{n^2}.

Indice : Utilise le fait que l'exponentielle croît plus vite que toute puissance de n.

Correction

1. Étape 1 : Une croissance comparée, transposée aux suites. Croissance comparée, version suites : [formule] 👉 C'est le même théorème que pour les fonctions, appliqué aux entiers — car une suite (u_n) n'est jamais qu'une fonction restreinte aux entiers. Les résultats de limites se transposent donc directement. ⚠️ Et il faut nommer le théorème : « l'exponentielle croît plus vite » est le résultat, pas sa justification.
2. Étape 2 : u_n = e^n{n^2}. e^n + et n^2 + : [formule] On applique le théorème de croissance comparée avec k = 2 : [formule]

   _{n +} e^n{n^2} = +

3. Étape 3 : ℹ️ Ce que « plus vite » signifie en chiffres : | n | e^n | n^2 | u_n | |:---|---:|---:|---:| | 1 | 2{,}7 | 1 | 2{,}7 | | 5 | 148 | 25 | 5{,}9 | | 10 | 22\,026 | 100 | 220 | | 20 | 4{,}9 10^8 | 400 | 1{,}2 10^6 | Le quotient ne se contente pas de croître : il explose. 👉 Et le résultat vaut pour toute puissance : e^n{n^{100}} tend aussi vers +. Il faut simplement attendre plus longtemps — le dépassement s'y produit vers n 550. Le degré change le moment, jamais l'issue.

   vrai pour tout k, y compris k = 100

4. Étape 4 : L'erreur classique : Se contenter d'écrire « l'exponentielle croît plus vite », sans nommer le théorème ni la forme indéterminée. Ce n'est pas une démonstration : c'est le résultat énoncé une seconde fois. La rédaction attendue tient en deux lignes — nommer la forme {}, puis citer la croissance comparée avec la valeur de k. À retenir : e^n{n^k} + pour tout k — l'exponentielle l'emporte toujours. 👉 Et les résultats de limites de fonctions se transposent aux suites : une suite est une fonction restreinte aux entiers.