Convergence d'une suite récurrente
Énoncé
Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = u_n + 2 pour n 0.
1. Montrer que pour tout n, 0 u_n 2.
2. Montrer que (u_n) est croissante.
3. En déduire que (u_n) converge et déterminer sa limite.
Indice : Pour la question 1, utilise une récurrence. Pour la question 2, montre que u_{n+1} u_n. Pour la question 3, utilise le théorème de convergence des suites monotones.
Correction
- Étape 1 : Le schéma complet des suites récurrentes, en trois temps qui s'enchaînent nécessairement.
Étudier u_{n+1} = f(u_n) :
1. encadrer par récurrence — c'est ce qui donne le majorant ;
2. montrer la monotonie ;
3. convergence monotone, puis résoudre l'équation du point fixe.
⚠️ L'ordre n'est pas négociable : l'encadrement de l'étape 1 sert à la monotonie de l'étape 2, et les deux ensemble donnent la convergence.
👉 Et un point de logique souvent mal compris : le passage à la limite dans u_{n+1} = f(u_n) ne prouve pas la convergence — il donne la valeur de la limite une fois qu'on sait qu'elle existe.
- Étape 2 : 1) L'encadrement. Posons P(n) : 0 u_n 2.
Initialisation : u_0 = 1, et 0 1 2 ✓
Hérédité. Supposons 0 u_n 2. Alors :
2 u_n + 2 4
La fonction racine étant croissante, elle conserve l'encadrement :
2 u_n+2 4 = 2
Donc u_{n+1} 2, et u_{n+1} 2 > 0.
Par récurrence, 0 u_n 2 pour tout n.
0 u_n 2 pour tout n
- Étape 3 : 2) La monotonie. La différence u_{n+1} - u_n = u_n+2 - u_n contient une racine : on passe par les carrés, ce qui est licite car les deux termes sont positifs.
u_{n+1}^2 - u_n^2 = (u_n+2) - u_n^2 = -(u_n^2 - u_n - 2)
Le trinôme x^2 - x - 2 se factorise : ses racines sont -1 et 2 (somme 1, produit -2), donc
u_n^2 - u_n - 2 = (u_n+1)(u_n-2)
Pour 0 u_n 2 : le premier facteur est positif et le second négatif ou nul, donc leur produit est 0.
[formule]
u_{n+1}^2 u_n^2
- Étape 4 : ⚠️ Le passage des carrés aux nombres eux-mêmes demande une justification.
u_{n+1}^2 u_n^2 n'implique u_{n+1} u_n que si les deux sont positifs — sinon (-3)^2 2^2 donnerait « -3 2 ».
Or l'étape 1 a établi u_n 0 et u_{n+1} 0. La fonction carré étant croissante sur les positifs, on peut donc conclure :
[formule]
👉 C'est la troisième utilité de l'encadrement : il a donné le majorant, il a donné le signe du trinôme, et il autorise maintenant ce passage.
u_n 0 u_{n+1} u_n
- Étape 5 : 3) La convergence. (u_n) est croissante et majorée par 2 : par le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel L.
Maintenant seulement, on passe à la limite dans la relation de récurrence. Comme u_n L et u_{n+1} L (même suite, décalée d'un rang), et que la racine est continue :
L = L+2
On élève au carré (les deux membres sont positifs) :
L^2 = L+2 L^2 - L - 2 = 0 (L-2)(L+1) = 0
Le tri : L = 2 ou L = -1. Or u_n 0 pour tout n, donc L 0 par passage à la limite dans l'inégalité.
[formule]
ℹ️ Contrôle numérique : u_0 = 1 ; u_1 = 3 1{,}73 ; u_2 1{,}93 ; u_3 1{,}98 ✓
u_n = 2
- Étape 6 : L'erreur classique :
Résoudre L = L+2 d'emblée et annoncer « la limite est 2 ».
Ce calcul suppose que la limite existe. Une suite divergente vérifierait la même équation formelle sans avoir de limite.
👉 Contre-exemple : u_{n+1} = 2u_n avec u_0 = 1. L'équation du point fixe donne L = 2L, donc L = 0 — alors que la suite vaut 2^n et tend vers +. Le calcul est le même, la conclusion absurde.
⚠️ Second piège : passer de u_{n+1}^2 u_n^2 à u_{n+1} u_n sans dire que les termes sont positifs. C'est la partie du raisonnement qu'on saute, et c'est elle qui le rend valide.
À retenir :
Encadrement monotonie convergence point fixe. Chaque étape sert à la suivante.
👉 Et l'encadrement sert trois fois ici : majorant, signe du trinôme, et positivité pour passer des carrés aux nombres.