Convergence d'une suite récurrente

Énoncé

Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = u_n + 2 pour n 0. 1. Montrer que pour tout n, 0 u_n 2. 2. Montrer que (u_n) est croissante. 3. En déduire que (u_n) converge et déterminer sa limite.

Indice : Pour la question 1, utilise une récurrence. Pour la question 2, montre que u_{n+1} u_n. Pour la question 3, utilise le théorème de convergence des suites monotones.

Correction

1. Étape 1 : **1)** Par récurrence : u_0 = 1, donc 0 u_0 2.
2. Étape 2 : Supposons 0 u_n 2. Alors u_n + 2 4, donc u_{n+1} = u_n + 2 2. De plus, u_{n+1} 0. Donc 0 u_{n+1} 2.
3. Étape 3 : **2)** On montre que u_{n+1} u_n :

   u_{n+1}^2 - u_n^2 = u_n + 2 - u_n^2 = -(u_n^2 - u_n - 2)

4. Étape 4 : Le trinôme x^2 - x - 2 a pour racines -1 et 2. Pour 0 u_n 2, on a u_n^2 - u_n - 2 0, donc u_{n+1}^2 u_n^2, donc u_{n+1} u_n.
5. Étape 5 : **3)** La suite est croissante et majorée par 2, donc elle converge vers un réel L qui vérifie L = L + 2, soit L^2 = L + 2.
6. Étape 6 : On résout : L^2 - L - 2 = 0, donc (L-2)(L+1) = 0. Comme L 0, on a L = 2.